对象：离散时间系统
过程：差分方程——z变换——复频域模型（代数方程）——系统特性
类比微分方程用LT，也是使得计算简化。
逆z变换：变回离散时间变量

1 ZT的定义

这部分内容和LT的非常像

1.1 ZT的类型和定义

（1）双边ZT（下标带b）

z是一个复数，用Σ+jΩ表示。
（2）单边ZT
根据双边ZT拆开

规定f[n]在n<0的时候是0，那么只剩下右边的，即：

单边ZT简称ZT。

1.2 IZT

反演积分

积分路线是Γ，它是z平面的逆时针闭合积分路线。但一般不这么算，太烦了，查表。
单边的逆z变换形式和这个一样，得到的结果是f[n]，它是整个时间轴上的函数，但是规定n<0的时候是0。

1.3 可以进行ZT的条件和收敛域

f(n)能够使得

收敛。
因为n无穷的时候，z^(-1)越来越小，所以z的幅值变大更可能收敛，即收敛于的形式一般是|z|>|r|，r由f(n)决定。
双边ZT的收敛域（ROC）必须考虑。

2 常见函数的ZT

级数在用闭式函数表示ZT的时候很有用。闭式函数：由初等函数经有限次初等运算复合而成。

2.1 阶跃函数

则

右边是一个级数：

把a代成z^(-1)：

因此：

用ZT的定义求出来的相函数的自变量是z^(-1)，看着难受，可以写成：

2.2 指数函数

因此：

即

拓展：如果把a^n表示成

那么就可以得到

后面会用到。

2.3 冲激函数

因此

如果n_0=0，那么

2.4 三角函数

因为

所以

利用指数函数的ZT里的结论得到

同理

2.5 衰减振荡函数

所以

对比一下4和5：

这里有一个一般规律（频域伸缩变换特性）：

因此，根据

可以得到

2.6 单位斜坡函数

根据幂级数求和公式

得到

即

2.7 总结

3 ZT的性质

3.1 线性变换

3.2 两个函数乘积的z变换~=两个函数z变换的乘积

3.3 时域平移特性

n_0>=0时

n_0<0时

（1）求解差分方程
对于一个α数字滤波器（低通）

进行ZT：

因此

这是差分方程的第三种解法。前面用过的还有经典解法、迭代解法。
定义传递函数为

用来表示LTIDT系统

（2）规定α=0.1，求这个滤波器的单位阶跃响应
输入阶跃信号的ZT为

因此

再进行IZT就可以得到y(n)了。但是这个Y(z)比较复杂，可以用部分分式展开，先化成查表能查到的形式。同时右边的分子次数比较高，先除过去：

待定系数求得

因此

再查表

（3）对比不同的平移


从第三个可以看出，两个离散间隔的时间提前，使得最初的两个采样值丢失。
符合

3.4 频域伸缩变换特性/调制特性

左边乘以e^ (-an)，导致 z平面上发生伸缩变换e^ a：a可以是复数，从复数的角度考虑，e^a可以写成模乘以(cos+jsin)的形式，相当于长度变化+角度变化。

3.5 复移位特性

可以从频域伸缩变换特性推。

3.6 初值定理

根据F(z)，直接得到f(0)，不需要再进行IZT

即

3.7 终值定理

根据F(z)，直接得到f(n)的稳态值

使用条件：f[n]的终值，即f[∞]存在（代进去看看就知道了）。一般来说，如果F(z)在单位圆内，除了z=1外仅有单个极点，那么f[0]的终值存在，而且只有在z=1处含有单个极点才能使终值不为0。

3.8 尺度变换

k为正整数时

m=n/k即n=mk会产生额外的样本值，将所有额外的样本值设为0。
相反，如果是f[nk]，k为正整数，那么会导致样本值的丢失。

3.9 时域卷积定理

3.10 总结

参考文献

[1]Charles L.Phillips,John M.Parr,Eve A.Riskin(2014).信号、系统和变换(陈从颜等).北京:机械工业出版社(2015.1).