离散傅里叶变换公式推导

先抛变换公式：
$F_m=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-2\pi imn/N}\leftrightarrow f_n=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}F_me^{2\pi imn/N}$Fm​=n=0∑N−1​fn​e−2πimn/N↔fn​=N1​m=0∑N−1​Fm​e2πimn/N
式中的N是数据点个数
讲道理一开始完全看不懂公式这么来的，一顿百度后我学到了很多，但就是没学到怎么推公式。好吧只能自己推。
先来看一下DFT的物理意义：
（图我网上随便下的）
离散傅里叶变换是把周期性离散信号变换到频域上，大家知道，周期信号变到频域上是离散的。离散就是在个别点$\{x_n\}${xn​}有值。我是学物理的，物理里面离散的可以这么表示：
$f(x)=\sum_{n=0}^{N-1}f_n\delta(x-x_n)$f(x)=n=0∑N−1​fn​δ(x−xn​)
$\delta(x)$δ(x)是个在$x=0$x=0处无穷大，其余位置为0且全空间积分为1的函数$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1$∫−∞∞​δ(x)dx=1

周期性信号变到频域上，那不就是傅里叶级数吗。自然有公式
$\begin{aligned} F_m &= \int_{-T}^{T}\sum_{n=0}^{N-1}f_n\delta(x-x_n)e^{-ixk_m}dx \\&=\sum_{n=0}^{N-1}\int f_n\delta(x-x_n)e^{-ixk_m}dx \\&=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-ix_nk_m} \end{aligned}$Fm​​=∫−TT​n=0∑N−1​fn​δ(x−xn​)e−ixkm​dx=n=0∑N−1​∫fn​δ(x−xn​)e−ixkm​dx=n=0∑N−1​fn​e−ixn​km​​
接下来我们假设$dx,dk$dx,dk分别是$\{x_n\}${xn​},$\{k_n\}${kn​}的间距，那么：
$x_n=ndx,\qquad k_m = mdk$xn​=ndx,km​=mdk
代入上式：
$\begin{aligned} F_m &=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-ix_nk_m} \\&=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-imndxdk} \end{aligned}$Fm​​=n=0∑N−1​fn​e−ixn​km​=n=0∑N−1​fn​e−imndxdk​
是不是和最上面的式子很接近了？还差最后一步，确定$dxdk$dxdk的值。
下面我懒得写了，只说一下做法吧

1. 先写出$F_m$Fm​到$f_n$fn​的逆变换，
   $f_n = c\sum_{n=0}^{N-1}F_me^{imndxdk}$fn​=cn=0∑N−1​Fm​eimndxdk
   $c$c是个系数，之后应该能计算出是$1/N$1/N
2. 把上面的$F_m$Fm​表达式带进去,就能得到用$f_{n'}$fn′​求和表达的$f_n$fn​,这要求$dxdk$dxdk满足一定关系，其实就是满足$dxdk = \frac{2\pi}{N}$dxdk=N2π​
3. 最后把公式里的$dxdk$dxdk替换就完事了

这个公式推导倒是不难，主要问题是理解不要出现偏差。所谓离散傅里叶变换是把周期离散信号变换到周期离散频谱，这是真的离散信号。一开始我以为是连续信号在某些给定点采样得到的值呢（没有学过信号相关的内容，在计算物理中遇到了这个离散傅里叶变换）。