高等数学期末总复习 DAY 5. 罗尔定理证明题 拉格朗日、柯西中值定理 泰勒公式及麦克劳林公式

DAY 5.

1.罗尔定理

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。

例题1

若方程 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x = 0$a0​xn+a1​xn−1+...+an−1​x=0有一个正根，$x = x_0$x=x0​，试证方程 $a_0nx^{n-1}+a_1(n-1)x^{n-2}+...+a_{n-1} = 0$a0​nxn−1+a1​(n−1)xn−2+...+an−1​=0 必有一个小于$x_0$x0​正根。

解：

令 $f(x) = a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x$f(x)=a0​xn+a1​xn−1+...+an−1​x

因为原方程有一个$x = x_0$x=x0​的正根，所以有

$f(x_0) = a_0x_0{^n}+a_1x_0{^{n-1}}+...+a_{n-1}x_0$f(x0​)=a0​x0​n+a1​x0​n−1+...+an−1​x0​ = 0

而：$f(0) = a_00^n+a_10^{n-1}+...+a_{n-1}0 = 0$f(0)=a0​0n+a1​0n−1+...+an−1​0=0

由罗尔定理可知:必存在一 $\xi \in (0,x_0)$ξ∈(0,x0​) 使得$f'(\xi) = 0$f′(ξ)=0

所以 $f'(\xi) = a_0n\xi^{n-1}+a_1(n-1)\xi^{n-2}+...+a_{n-1} = 0$f′(ξ)=a0​nξn−1+a1​(n−1)ξn−2+...+an−1​=0

当$\xi = x$ξ=x时原式证毕

2.拉格朗日定理

拉格朗日定理其实是罗尔定理的一种推广

如果函数$f(x)$f(x)满足：1) 在闭区间[a,b]上连续；2) 在开区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少有一点$\xi(a<\xi<b)$ξ(a<ξ<b)，使等式 $f(b) - f(a) = f'(\xi) (b-a)$f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)成立。

例题2

设 a > b >0, n>1 证明$nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <na^{n-1}(a-b)$nbn−1(a−b)<an−bn<nan−1(a−b)

解： 设$F（x） = x^n$F（x）=xn

由拉格朗日定理可得：

$F(a)-F(b) = a^n - b^n$F(a)−F(b)=an−bn = $F'(\xi) (a-b)$F′(ξ)(a−b)

因为：$b<\xi<a$b<ξ<a

所以$b^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <a^{n-1}(a-b)$bn−1(a−b)<an−bn<an−1(a−b)

且 n > 1

可得：$nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <na^{n-1}(a-b)$nbn−1(a−b)<an−bn<nan−1(a−b)

3.柯西中值定理

柯西中值定理是前两者的进一步推广，期末不常考，因为用柯西定理证明的题，用罗尔和拉格朗日都可以证明出来

柯西定理就是当我们把拉格朗日定理里面的 $y$y 看成 $f(x)$f(x) , $x$x 看成$g(x)$g(x) 获得两个参数方程

$\begin{cases} y = f(x) \\x = g(x) \\ \end{cases}${y=f(x)x=g(x)​

得到： $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$g(b)−g(a)f(b)−f(a)​=g′(ξ)f′(ξ)​

例题3

设 b>a>0 若$f(x)$f(x)在【a,b】上连续，在（a,b）上可导，求证 $\exists \xi \in (a,b)$∃ξ∈(a,b) 使得$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \frac{b}{a}$f(b)−f(a)=ξf′(ξ)ab​

解：

设 $g(x) = \ln x,f(x)$g(x)=lnx,f(x)

由柯西中值定理可知：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}$g(b)−g(a)f(b)−f(a)​=g′(ξ)f′(ξ)​=ξ1​f′(ξ)​

$\Rightarrow$⇒ $f(b)-f(a) = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}*g(b)-g(a)$f(b)−f(a)=ξ1​f′(ξ)​∗g(b)−g(a)

$\Rightarrow$⇒ $f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \ln{\frac{b}{a}}$f(b)−f(a)=ξf′(ξ)lnab​ 证毕

4.泰勒公式及麦克劳林公式

当泰勒公式其中的$x_0 = 0$x0​=0的时候就变成了麦克劳林公式

有两个余项：

要记住一些常用函数的泰勒公式