事件

1.集合的运算法则一般都可以
2.事件的互斥：$A\cap B=\phi$A∩B=ϕ
3.事件的对立：$\bar A=B$Aˉ=B
4.事件的和（并）：$A+B$A+B 或 $A\cup B$A∪B
5.事件的积（交）：$AB$AB 或 $A\cap B$A∩B
6.事件的差（$A$A 发生 $B$B 不发生）：$A-B=A\bar B$A−B=ABˉ
7.事件的运算定律：交换律，结合律，分配律
8. $A+A=A,AA=A$A+A=A,AA=A
$(A-B)+B=A+B$(A−B)+B=A+B
9.事件的独立性：
对于事件 $A,B$A,B 当 $P(AB)=P(A)*P(B)$P(AB)=P(A)∗P(B) 称 $A,B$A,B 独立
事件独立和事件互斥理解：相互独立事件之间的发生互不影响,但可能会同时发生。 互斥事件是不可能同时发生的事件,即交集为零,但可能会产生相互影响。
10.相互独立和两两独立

相互独立指的是 $A_i$Ai​ 与其他事件任意组合都独立，两两独立知时 $A_i$Ai​ 和 $A_j$Aj​ 独立

概率

1.类型：
$\quad$a. 古典概型： $P(X)=\frac{M}{N}$P(X)=NM​ ，有 $N$N 种等可能结果，事件在 $M$M 种结果中出现
$\quad$b.几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例：$P(X)=\frac{A}{S}$P(X)=SA​
2.概率加法定理：
3.条件概率：在 $B$B 事件发生的情况下， $A$A 事件发生的概率

$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$P(A∣B)=P(B)P(AB)​

推广：$P(AB)=P(A|B)*P(B)$P(AB)=P(A∣B)∗P(B)
4.概率乘法定理：
两独立事件 $A,B$A,B 满足 $P(AB)=P(A)*P(B)$P(AB)=P(A)∗P(B)

5.全概率公式：

当 $B_1+B_2+...+B_n=\Omega，B_iB_j=\phi (i\not=j)$B1​+B2​+...+Bn​=Ω，Bi​Bj​=ϕ(i​=j) ，

$P(A)=\sum_{i=1}^nP(AB_i)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)*P(B_i)$P(A)=∑i=1n​P(ABi​)=∑i=1n​P(A∣Bi​)∗P(Bi​)

6.叶贝斯公式：

当 $B_1+B_2+...+B_n=\Omega，B_iB_j=\phi (i\not=j)$B1​+B2​+...+Bn​=Ω，Bi​Bj​=ϕ(i​=j) ，对于任一事件 $A$A 有：
$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)*P(B_i)}{\sum_{i=j}^nP(A|B_j)*P(B_j)}$P(Bi​∣A)=∑i=jn​P(A∣Bj​)∗P(Bj​)P(A∣Bi​)∗P(Bi​)​

期望

1.定义： $E(X)=i*P(X=i)$E(X)=i∗P(X=i)
2. 期望的线性性：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$E(X+Y)=E(X)+E(Y)
证明：
注意这里并没有要求 $X,Y$X,Y 互斥
有更一般形式：
$E(\sum a_ix_i+b)=\sum a_iE(x_i)+b$E(∑ai​xi​+b)=∑ai​E(xi​)+b
3. $X,Y$X,Y 独立是 $E(XY)=E(X)*E(Y)$E(XY)=E(X)∗E(Y) 的充要条件
推导：
$E(XY)=\sum_x\sum_y xyP(X=x,Y=y)$E(XY)=x∑​y∑​xyP(X=x,Y=y)
$\because XY=\phi$∵XY=ϕ
$\therefore E(XY)=\sum_xxP(X=x)\sum yP(Y=y)=E(x)*E(y)$∴E(XY)=x∑​xP(X=x)∑yP(Y=y)=E(x)∗E(y)
4. $E(c)=c,E(E(X))=E(X)$E(c)=c,E(E(X))=E(X) (因为此时 $E(X)$E(X) 已经是确定的值)

方差

1. 本质：一种特殊的期望
2. 定义： $D(X)=E((X-E(X))^2)$D(X)=E((X−E(X))2)
3. $D(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2-2*X*E(X)+E^2(X))=E(X^2)-E^2(x)$D(X)=E((X−E(X))2)=E(X2−2∗X∗E(X)+E2(X))=E(X2)−E2(x)
   对于一些数的方差只是其一种特殊情况
4. $D(cX)=E((cX)^2)-E^2(cX)=c^2(E(X^2)-E^2(X))=c^2D(X)$D(cX)=E((cX)2)−E2(cX)=c2(E(X2)−E2(X))=c2D(X)
5. $D(X+c)=E((X+c-E(X+c))^2)=D(X)$D(X+c)=E((X+c−E(X+c))2)=D(X)

就先写到这里吧，差不多了…