数据库作业15：第六章： 关系数据理论

关系模式： R(U, F) 本章中把关系模式看作一个三元组
R是符号化的元组语义
U为一组属性
F为属性组U上的一组数据依赖
数据依赖：是一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系
·通过属性间值的相等与否体现出来的数据间相互联系
·是现实世界属性间相互联系的抽象
·是数据内在的性质
·是语义的体现
主要类型有：函数依赖（FD）、多值依赖（MVD）
函数依赖：设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r 中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作X→Y。

X→Y，但Y⊈X则称X→Y是非平凡的函数依赖。
X→Y，但Y⊆X 则称X→Y是平凡的函数依赖。
对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义。若不特别声明， 我们总是讨论非平凡函数依赖。

若X→Y，则X称为这个函数依赖的决定因素
若X→Y，Y→X，则记作X←→Y。
若Y不函数依赖于X，则记作X↛Y。

完全函数依赖：在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’, 都有 X’ ↛ Y, 则称Y对X完全函数依赖，记作
$X \overset F \rightarrow Y$X→FY
部分函数依赖:若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作$X \overset P \rightarrow Y$X→PY

传递函数依赖:在R(U)中，如果X→Y(Y⊈X)，Y↛X，Y→Z，Z⊈Y, 则称Z对X传递函数依赖(transitive functional dependency)。记为:$X \overset {传递} \rightarrow Z$X→传递Z
⚠️：如果Y→X, 即X←→Y，则Z直接依赖于X，而不是传递函数依赖。

码
候选码：设K为R<U,F>中的属性或属性组合。若$K \overset F \rightarrow U$K→FU，则K称为R的一个候选码(Candidate Key)。
如果U部分函数依赖于K，即$K \overset P\rightarrow U$K→PU,则K称为超码 。
候选码是最小的超码，即K的任意真子集都不是候选码。

若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码(Primary key)。
包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性
不包含在任何码中的属性称为非主属性
整个属性组是码，称为全码（All-key）
外部码：关系模式 R中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码。

范式：是符合某一种级别的关系模式的集合
种类有：第一范式(1NF)、第二范式(2NF)、第三范式(3NF)、BC范式(BCNF)、第四范式(4NF)、第五范式(5NF)

一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化。

若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于任何一个候选码，则R∈2NF
一个关系模式不属于2NF，会产生插入异常、删除异常、修改复杂的问题，
原因是例子中有两类非主属性：一类对码完全函数依赖；另一类对码不是完全函数依赖。
解决方法是用投影分解把关系模式S-L-C分解成两个关系模式。

设关系模式R<U,F>∈1NF,若R中不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z ⊇ Y）, 使得X→Y，Y→Z成立，Y ↛ X不成立，则称R<U,F> ∈== 3NF==。

设关系模式R<U,F>∈1NF，若X →Y且Y ⊆ X时X必含有码，则R<U,F>∈BCNF。在关系模式R<U,F>中，如果每一个决定属性集都包含候选码，则R∈BCNF。

设R(U)是属性集U上的一个关系模式。X,Y,Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对(x,z)值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。
若X→→Y，而Z＝Ф，则称X→→Y为平凡的多值依赖。
否则称X→→Y为非平凡的多值依赖。

关系模式R<U,F>∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y ⊈ X），X都含有码，则R<U,F>∈4NF。
如果一个关系模式是4NF， 则必为BCNF。

不能说规范化程度越高的关系模式就越好。 必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式。上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止。

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(1)关系模式如下：
学生：Student(Sno,Sname,Sbirth,Dept,Cno,Rno)
班级：Class(Cno,Pname,Dept,Cnum,Cyear)
系：D(Dept,Dno,Doffice,Dnum)
学会：M(Mname,Myear,Maddr,Mnum)
（2）学生函数依赖：Sno→Sname，Sno→Sbirth，Sno→Cno，Dept→Rno，Cno→Dept。
传递依赖：由于Sno→Cno,Cno↛Sno,Cno→Dept，则Sno→Dept。
由于Sno→Dept，Dept↛Sno，且Dept→Rno，则Sno→Rno。
由于Cno→Dept，Dept↛Cno，且Dept→Rno，则Cno→Rno。

班级传递依赖：Cno→Pname，Cno→Cnum，Cno→Cyear。
传递函数依赖：Cno→Pname，Pname↛Cno，且Pname→Dept，则Cno→Dept。

系函数依赖：Dept→Dno，Dept→Doffice，Dept→Dnum，Dno→Dept。
不存在传递函数依赖

学会函数依赖：Mname→Year,Mname→Maddr,Mname→Mnum
没有传递函数依赖

（3）学生Student
候选码：Sno
外部码：Dept,Cno
全码：无
班级Class
候选码：Cno
外部码：Dept
全码：无
系D
候选码：Dept or Dno
无外部码，无全码
学会M
候选码：Mname
无外部码，无全码

（1）当属性组BC也是关系模式R的候选码时，R是BCNF
（2）R的候选码有：ACE，BCE，CDE
（3）不存在传递函数依赖，所以R属于3NF。每个函数依赖的决定因素都不包含码，所以R不属于BCNF

（1）正确
（2）正确
（3）正确
（4）❌ 当且仅当函数依赖A→→B 在R上成立，关系R（A，B，C）等于其投影R1(A，B)和R2(A，C)的连接。
（5）正确
（6）正确
（7）正确
（8）❌例：SC（Sno,Cno,Grade）学号课程号可确定唯一成绩，但学号不能确定成绩，课程号也不能确定成绩

（1）反证法 。假设R∈BCNF，R∉3NF。根据3NF定义得：
R中存在码X，属性组Y和非属性组Z，Y↛X，Z∉Y，使得X→Y，Y→Z成立
因为Y↛X，所以Y不是R的候选码
有因为R中存在函数依赖Y→Z，Z∉Y，而Y不包含码，所以R∉BCNF，与已知R∈BCNF矛盾，故假设不成立，R∈3NF
（2）反证法 。假设R∈3NF，R∉2NF。根据2NF定义得：
R中存在非主属性Z部分函数依赖于候选码X，即$X \overset P \rightarrow Z$X→PZ
根据部分函数依赖的定义，R中存在X的真子集X’⊂X，使得X’→Z成立
因为R中存在码X，属性组X’及非属性组Z，X’↛X，Z∉X’，使得X→X’，X’→Z成立，所以R∉#NF，与已知矛盾，故假设不成立，R∈2NF。

一．
Y(X1,X2,X3,X4)
(X1,X2)→X3
X2→X4

1. 侯选码？
2. 属于第几范式？

解：

因为X2→X4，所以(X1,X2)→X4；

又因为(X1,X2)→X3，所以(X1,X2)→(X1,X2,X3,X4)。

因此：候选码：（X1,X2）；非主属性：X3,X4。

因为(X1,X2)→X4, X2→X4，存在非主属性X4对候选码（X1,X2）的部分函数依赖；

所以不属于2NF。

结论：候选码（X1,X2），属于第一范式。

二．
R（A，B，C，D）
F={AB→D，AC→BD，B→C}

1. 侯选码？
2. 最高属于第几范式？

因为B→C，所以(A,B)→C；

又因为(A,B)→D，所以(A,B)→(A,B,C,D)。

因为AC→BD，所以(A,C)→(A,B,C,D)。

因此：候选码：(A,B)和(A,C)；非主属性：D。

因为(A,B)→D，AC→D，非主属性完全函数依赖于任何一个候选码；

因此属于2NF。

因为(A,B)→D，AC→D，码与非主属性之间没有传递函数依赖；

因此属于3NF。

因为B→C，所以决定因素不含候选码；

因此不属于BCNF。

结论：候选码(A,B)和(A,C)，最高属于3NF。

三．
R（X，Y，Z，W）
F={Y←→W，XY→Z}

1. 侯选码？
2. 最高属于第几范式？

因为Y←→W，所以Y→W，所以(X,Y)→W；

又因为(X,Y)→Z，所以(X,Y)→(X,Y,Z,W)。

因为Y←→W，所以W→Y，所以(X,W)→Y;

又因为XY→Z，W→Y，所以(X,W)→Z,所以（X,W)→(X,Y,Z,W)；

因此候选码：(X,Y)（X,W)；非主属性：Z。

因为(X,Y)→Z，(X,W)→Z，非主属性完全函数依赖于任何一个候选码；

因此属于2NF。

因为(X,Y)→Z，(X,W)→Z, 码与非主属性之间没有传递函数依赖；

因此属于3NF。

因为Y←→W，所以决定因素不含候选码；

因此不属于BCNF。

四.
R（A,B,C,D,E） F={A→B,CE→A,E→D}
1、求候选码。
2、最高属于第几范式，为什么？
3、分解到3NF。

因为E→D，所以CE→D。

因为CE→A，A→B，所以CE→B，所以CE→(A,B,C,D,E)。

因此候选码：(C,E)；非主属性：A,B,D。

因为A→B和E→D，所以非主属性不完全依赖于候选码；

因此不属于2NF，最高属于1NF。

消除非主属性对码的部分函数依赖：R(A,C,E)，R(A,B)，R(D,E)

此时非主属性对码没有传递函数依赖，3NF：R(A,C,E)，R(A,B)，R(D,E)。

五.
R(商店编号，商品编号，数量，部门编号，负责人)
每个商店的每种商品只在一个部门销售，
每个商店的每个部门只有一个负责人，
每个商店的每种商品只有一个库存数量。

1. 求候选码。
2. R已达第几范式？为什么？
3. 若不属于3NF，分解成3NF。

R(A,B,C,D,E)
F={(A,B)→C,(A,B)→D,(A,D)→E}
候选码：(A,B) 非主属性：C,D,E。
因为(A,B)→C,(A,B)→D,(A,D)→E，所以非主属性都完全函数依赖候选码；
因此R属于2NF。
因为(A,B)→D,(A,D)→E，所以码与非主属性之间有传递函数依赖；
因此R不属于3NF。
所以R已到达2NF。
消除码与非主属性之间的传递函数依赖：R(A,B,C,D) R(A,D,E)。

六．
R(A,B,C,D,E,F) F={A→C,AB→D,C→E,D→BF}

1. 写出关键字。
2. 分解到2NF。
3. 分解到3NF。
4. 分解到4NF。

因为A→C，所以(A,B)→C；

又(A,B)→C，C→E，所以(A,B)→E;

又AB→D，D→BF，所以(A,B)→F，(A,B)→(C,D,E,F)。

因为A→C，所以(A,D)→C；

又D→BF，所以(A,D)→BF；

又(A,D)→C，C→E，所以(A,D)→E，(A,D)→(C,D,E,F)。

因此候选码：(A,B)，(A,D) 非主属性：C,E,F

2NF：R(A,C,E) R(A,B,D,F)

3NF：R(A,C) R(C,E) R(A,B,D) R(D,B,F)。

4NF：R(A,B,C) R(C,E) R(D,B,F)