复数的相关知识

1.任意一个复数$z\in C$z∈C都可以表示成$z=a+bi$z=a+bi的形式，其中$a,b\in R$a,b∈R 而且$i^2=-1. a$i2=−1.a为实部（Real Part）,$b$b为虚部（Imaginary Part）。

$z=a+bi$z=a+bi是对于$\{1,i\}${1,i}这个基（Basis）的线性组合：

2.性质

（1）复数加减法

（2）复数乘法

$z_1z_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i$z1​z2​=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(bc+ad)i

(3)复数的模长与共轭

模长：

共轭：

性质：

3.复数相乘与2D旋转

复数相乘可以写成：$z_1z_2$z1​z2​

则变换矩阵可以写成：

复数如何表示2D旋转：

由上边的公式可以看车，复数相乘可以表示成旋转矩阵与复数向量相乘，因此对于基向量$[1,0]^T和[0,1]^T$[1,0]T和[0,1]T的变换效果:

因此，复数相乘其实就是旋转与缩放变换的复合。如果$|||z|=1$∣∣∣z∣=1，则复数矩阵可以表示成：

为纯旋转矩阵，没有缩放功能。因此，如果想让2D空间中任意向量$\bm{v}$v旋转$\theta$θ度，就可以使用定理1的变换公式：

复数的极坐标表示形式：

因此，复数同样可以表示成

4.旋转的复合

结论：当我们对两个2D旋转进行复合时，所得的变换$z_{net}$znet​仍然是一个旋转，并且与施加次序无关，旋转角是$z_1和z_2$z1​和z2​之和。