统计学基础（一）

以下均为可汗学院统计学课程笔记

1. 极差和中程数

极差：这些数字分开的有多远，计算方法是用其中的最大的数减去最小的数

中程数：考虑集中趋势的有一种方式，计算方法是取最大数和最小数的平均值

2. 茎叶图 

以下茎叶图展示了在一场比赛内，各个球员的得分情况。通过茎叶图，能一眼看出有多少球员是个位数得分，10+得分和20+得分，即能够看出分布情况

3. 箱线图

反映分布情况和中位数， 两个四分位数

如何画箱线图：先最大最小，再上下四分标出成箱，中位数标出后连线

4. 统计：集中趋势（描述一组数字，找出最能代表这一组数据的个别数字或者说，能体现集中趋势的数字）

统计学的分类：描述性统计学，推论统计学

举例：算数平均、中位数、众数

5. 统计：样本和总体

总体均值和样本均值的通用表示方法

 

6. 统计：总体方差

sigma的平方

7. 统计：样本方差

s的平方

里面下面的公式去估计总体方差，通常会低估总体方差

另外一个公式，被称为总体方差的无偏估计

8. 统计：标准差

样本的标准差也是按照n-1计算

9. 统计：诸方差公式

总体方差计算可以变换成这种形式，通常是计算方差的快速方法

还可以变换成这种形式，可以无需提前计算均值等

10. 统计：随机变量介绍

随机变量并不是传统意义上的变量，更像是从随机过程映射到数值的函数

随机变量，就是函数映射

分类：离散随机变量和连续随机变量（按变化情况有穷无穷）

概率分布函数：随机变量X等于某数值的概率，可以通过概率分布函数得到

11. 二项（概率）分布

举例：

• 一个硬币抛五次，正面的次数
• 投篮十次，投中的次数

12. 期望值E(X)

随机变量的期望值，其实就是总体的均值，有时也被称为总体均值

通过计算随机变量期望值的方式，可以得到总体均值

二项分布中，期望值 E(X) = np

随机变量X表示成功的次数

证明过程中，将k 和 n 替换，得到以下

 

13. 泊松过程

举例：想要确定某一个小时内100辆车或者5辆车通过的概率。先定义一个随机变量X，假设它表示一个小时内通过车辆数，然后求出X的概率分布

两个假设：街上此点任意时刻的情况没有差异；一段时间的车流量，不会影响下一段时间的车流量（独立性）

通过二项分布来推导出泊松分布

中间省略数学运算（极限）

 

14. 大数定律

样本量足够大的时候，样本均值接近期望值

或者说

样本均值将收敛于总体均值或随机变量期望值

 

 

15. 正态分布 （高斯分布）

密度函数：

z分数：离均值有多少个标准差，z分数可正可负，而且可以用在任意分布上，只要知道均值和标准差

经验法则：又称为68-95-99.7法则，落在1个标准差之间的概率是68，落在2个标准差之间的概率是95%，99.7同理