射影几何 -- 平面射影几何 2
二维射影变换
射影变换是射影平面上的可逆齐次线性变换,这个变换可由 3 × 3 的矩阵来描述:
记为 x′ = Hx
射影变换又称为单应,矩阵 H 称为射影变换矩阵或称为单应矩阵
同一个射影变换矩阵 H 可以相差一个非零常数因子
射影变换仅有 8 个*度,即射影变换矩阵可由它的元素所构成的 8 个比值所确定
任何射影变换都将点变换到点,并且保持点的共线性质,因而将直线变为直线
中心投影变换的合成是射影变换。如图 1.3.2 所示,图中第一个中心投影变换是 H,第 二个中心投影变换是 G,由这两个投影得到一个从第一个像平面到第二个相平面的变换是 F。由于 H,G 都是射影变换,它们的逆变换是像点沿投影线反投到物体平面上的点,对应的变换矩阵分别 是 H 与 G 的逆矩阵,因此逆变换也是射影变换。变换 F 是 H 的逆变换与变换 G 的合成,它可以用
3 × 3 的可逆矩阵 来描述,所以也是一个射影变换。但它不再是中心投影变换而是一般的射影变换。
F =
射影变换的一个点对应:{x, x′},记为 x ↔ x′
4 个点对应唯一确定二维射影变换的充要条件是 4 个点对应中任意三点不共线
直线与二次曲线的射影变换
直线的变换规则
∀x ∈ l , x′ = Hx ∈ l′
射影变换 H 的一个线对应:{l, l′},记作 l ↔ l′
4 个线对应唯一确定一个射影变换
二次曲线的变换规则
于∀x ∈ C , x′ = Hx ∈ C′
射影变换 H 对二次曲线的变换规则,由 H 的对偶合同所确定:
射影变换 H 关于对偶二次曲线 C*的变换规则,由 H 合同所确定:
二次曲线的射影分类
二次曲线的射影分类是指二次曲线在射影变换下的等价类。
对任意对称矩阵 C,必存在可逆矩阵 H 使得,
变换群与不变量
平面上的所有射影变换构成一个变换群,通常称这个群为射影变换群。
几何学的主要内容是研 究在各种变换群作用下的几何不变量(包括不变几何性质),在射影变换群中包含两类重要的子群:
欧氏变换群与仿射变换群。
等距变换群
等距变换是指保持距离不变的变换:
其中,σ = ±1。使用非齐次坐标,上式可以写成下面的形式:
等距变换是先作正交变换,然后再作平移变换所得到的变换
等距变换群的不变量主要有:两点的距离、两线的夹角、图形的面积等
在等距变换中,正交变换 U 根据它的行列式是否等于 1 而分为旋转变换与反射变换。当 det(U) =1时,是旋转变换; det(U) = −1 时,是反射变换。它们的几何意义是旋转变换不但保持两点的距离不变,而且还保 持方向(保向)不变,而反射变换是一个逆向变换
在等距变换中,如果矩阵 U 是一个旋转矩阵,则这个等距变换称为欧氏变换。欧氏变换群是等距变换群的子群
平面欧氏变换有 3 个*度(因为在平面上,旋转有 1 个*度,平移有 2 个*度)。因此,两个点对应可确定欧氏变换
欧氏变换保持圆环点不变,因此也保持无穷远直线不变。
反射等距变换将两个圆环点互换,即反射等距变换只能保持两个圆环点的整体不变。当然,它 也是保持无穷远直线不变的。
相似变换群
相似变换是等距变换与均匀伸缩变换的合成变换
相似变换群的不变量有:两直线的夹角,长度的比值,面积的比值。
均匀伸缩变换是指下述变换:
,其中 s 是均匀伸缩因子。
旋转相似是欧氏变换与均匀伸缩变换的合成
对称相似是反射等距变换与均匀伸缩变换的合成。
旋转相似:
旋转相似变换有 4 个*度,比欧氏变换多一个均匀伸缩因子
射影变换保持圆环点不动的充要条件是它为相似变换
射影变换保持对偶二次曲线不动的充要条件是它为相似变换
仿射变换
其中 A 是一个 2 阶可逆矩阵。仿射变换有 6 个*度,3 个不共线的点对应唯一确定仿射变换
相似变换群是仿射变换群的子群。
仿射变换的分解
对矩阵 A 作奇异值分解。,其中 U,V 是正交矩阵,D 是对角元为正数的对角矩阵
所以,仿射变换是一个等距变换 、一个非均匀伸缩变换 D 以及另一个等距变换 U 的合成,因此它与相似变换的差别在于非均匀伸缩。
仿射变换是否保向,根据矩阵 A 的行列式 det(A)是否大于零来确定。
将A写成:
总是一个保向的变换(不论 V 是否为旋转矩阵)
仿射变换的另一种分解。对 A 作 QR 分解得到 A=UK,其中 U 是一个正交阵,K 是一个对角元素均大于零的上三角阵
再对 K 分解:
于是,仿射变换可以表示为
变换 通常称为推移变换
因此,仿射变换(除一个平移变换外)是推移变换、非均匀伸缩变换与正交变换的合成
仿射不变量:平行性不变,保持面积的比值不变,保持平行线段长度的比值不变
射影变换 H 保持无穷远直线不动的充要条件是 H 为仿射变换。
二次曲线的仿射分类仍然是:椭圆、抛物线与双曲线三类
射影变换群
射影变换
k = 0 当仅当这个射影变换将无穷远直线变换为通过坐标原点的直线,因此在一般情况下, k ≠ 0 。当 k ≠ 0 时,H 可分解为下述形式:
其中 K 是行列式等于 1 且对角元素均大于零的上三角矩阵,R 是正交矩阵。
于是::
是改变无穷远直线的射影变换
是保持面积比不变的仿射变换
是相似变换
一般的射影变换将无穷远直线 变到一条有限直线 ,在源平面上的两个有序图形,如果被变换到直线 的两侧,则必存在一个图形与原来的图形反序,而另一个图形与原来的同序
射影不变量
基本射影不变量是四共线点的交比
4 点交比在一维射影变换下是不变的,换句话说交比的定义不依赖于直线 l 的坐标 系的选择。
所谓一维射影变换,在代数上与二维射影变换类似,是指线 l 上的可逆齐次线性变换,这个变换由 2× 2 的矩阵 H 来描述:
在平面上,任何二维射影变换 H 都可以诱导出直线的一维射影变换,由此,立即得到平面射影变换保持交比不变的结论
等距变换是先作正交变换,然后再作平移变换所得到的变换
等距变换群的不变量主要有:两点的距离、两线的夹角、图形的面积等
在等距变换中,正交变换 U 根据它的行列式是否等于 1 而分为旋转变换与反射变换。当 det(U) =1时,是旋转变换; det(U) = −1 时,是反射变换。如果矩阵 U 是一个旋转矩阵,则这个等距变换称为欧氏变换
平面欧氏变换有 3 个*度(因为在平面上,旋转有 1 个*度,平移有 2 个*度)。因此,两个点对应可确定欧氏变换
欧氏变换保持圆环点不变,因此也保持无穷远直线不变。
反射等距变换将两个圆环点互换,即反射等距变换只能保持两个圆环点的整体不变。当然,它 也是保持无穷远直线不变的。
相似变换是等距变换与均匀伸缩变换的合成变换
相似变换群的不变量有:两直线的夹角,长度的比值,面积的比值。
旋转相似变换有 4 个*度,比欧氏变换多一个均匀伸缩因子
射影变换保持圆环点不动的充要条件是它为相似变换
射影变换保持对偶二次曲线不动的充要条件是它为相似变换
仿射变换是一个等距变换 、一个非均匀伸缩变换 D 以及另一个等距变换 U 的合成,因此它与相似变换的差别在于非均匀伸缩。
仿射变换是否保向,根据矩阵 A 的行列式 det(A)是否大于零来确定。
仿射不变量:平行性不变,保持面积的比值不变,保持平行线段长度的比值不变
射影变换 H 保持无穷远直线不动的充要条件是 H 为仿射变换。