微分中值定理 （罗尔、拉格朗日、柯西）
罗尔中值定理
如果函数
f
f
f满足以下条件
（i）
f
f
f 在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上连续
（ii）
f
f
f 在开区间内可导
（iii）
f
(
a
)
=
f
(
b
)
f(a)=f(b)
f(a)=f(b)
则在（a，b）中至少存在一点
ε
ε
ε ，使得
f
′
(
ε
)
=
0
f'(ε)=0
f′(ε)=0
几何解释：
在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平曲线。
三种条件缺少一个，结论将不一定成立
推广的罗尔中值定理
如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在开区间（a,b）可导，在区间端点处的单侧极限存在且相等，即 f ( a + 0 ) = f ( b − 0 ) f(a+0)=f(b-0) f(a+0)=f(b−0)，那么在（a,b）中至少存在一点 ε ( a < ε < b ) ε (a<ε<b) ε(a<ε<b)，使得 f ( ε ) = 0 f(ε)=0 f(ε)=0
拉格朗日中值定理
如果函数
f
f
f 满足以下条件
（i）
f
f
f 在闭区间内
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续
（ii）
f
f
f 在开区间内
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 可导
则在（a，b）中至少存在一点
ε
ε
ε ，使得
f
′
(
ε
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
f'(ε)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f′(ε)=b−af(b)−f(a)
特别是当 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)时，拉格朗日定理的结论即为拉格朗日中值定理的结论。实际上，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。
拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ε ) ( b − a ) ， a < ε < b f(b)-f(a)=f'(ε)(b-a)，a<ε<b f(b)−f(a)=f′(ε)(b−a)，a<ε<b
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( a + θ ( b − a ) ) ( b − a ) ， 0 < θ < 1 (2) f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a)，0<θ<1 \tag2 f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a)，0<θ<1(2)
f ( a + h ) − f ( a ) = f ′ ( a + θ h ) h ， 0 < θ < 1 (3) f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h，0<θ<1\tag3 f(a+h)−f(a)=f′(a+θh)h，0<θ<1(3)
拉格朗日公式无论对于 a < b a<b a<b 还是 a > b a>b a>b 都成立 ， ε ε ε是介于 a , b a,b a,b 之间的一个数字
下面 2,3 两式的特点是，把中值点 ε ε ε表示成了 a + θ ( b − a ) a+θ(b-a) a+θ(b−a)，使得无论 a , b a,b a,b 为何值， θ θ θ总可为小于 1 1 1的某值
推论1：
如果函数
f
f
f 在区间
I
I
I上可导，且
f
′
(
x
)
=
0
，
x
∈
I
f'(x)=0，x∈I
f′(x)=0，x∈I，则
f
f
f 为
I
I
I 上的一个常量函数
推论2：
若函数
f
f
f 和
g
g
g 均在区间
I
I
I 上可导，且
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
f'(x)=g'(x)
f′(x)=g′(x) ，则在区间
I
I
I 上
f
(
x
)
f(x)
f(x)与
g
(
x
)
g(x)
g(x)只相差一个常数
f
(
x
)
=
g
(
x
)
+
c
f(x)=g(x)+c
f(x)=g(x)+c
柯西中值定理
如果函数
f
f
f ,
g
g
g 满足以下条件
（i）在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上都连续
（ii）在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上可导
（iii）
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x) 和
g
′
(
x
)
g'(x)
g′(x) 不同时为零
（iv）
g
(
a
)
≠
g
(
b
)
g(a)≠g(b)
g(a)=g(b)
则存在
ε
∈
(
a
,
b
)
ε∈(a,b)
ε∈(a,b)，使得
f
′
(
ε
)
g
′
(
ε
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
\frac{f'(ε)}{g'(ε)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
g′(ε)f′(ε)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)
在柯西中值定理中，取 g ( x ) = x g(x)=x g(x)=x 即得拉格朗日中值定理。