1.引入

由图可得$\left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos(\theta) & sin(\theta)\\ -sin(\theta) & cos(\theta) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right]$[x2​y2​​]=[cos(θ)−sin(θ)​sin(θ)cos(θ)​][x1​y1​​]形如$\left[ \begin{matrix} cos(\theta) & sin(\theta)\\ -sin(\theta) & cos(\theta) \end{matrix}\right]$[cos(θ)−sin(θ)​sin(θ)cos(θ)​]类型的矩阵被称为Givens矩阵。

2.Givens矩阵的定义

$c^2+s^2=1$c2+s2=1,称这样的矩阵为Givens矩阵（初等旋转矩阵），也记做$T_{ij}=T_{ij}(c,s)$Tij​=Tij​(c,s)。
说明：

• 因为$c^2+s^2=1$c2+s2=1，所以存在$\theta$θ,使得$c=cos(\theta),s=sin(\theta)$c=cos(θ),s=sin(θ)
• 二阶情况下，对应的是一个平面直角坐标系中的一个旋转变换。

性质：

• $[T_{ij}(c,s)]^{-1}=[T_{ij}(c,s)]^T=[T_{ij}(c,-s)],det[T_{ij}(c,s)]=1$[Tij​(c,s)]−1=[Tij​(c,s)]T=[Tij​(c,−s)],det[Tij​(c,s)]=1
• 设$x=\left[ \begin{matrix}\xi_1 & \xi_2\cdots \xi_n\end{matrix}\right]^T$x=[ξ1​​ξ2​⋯ξn​​]T,即x是一个列向量，有$y=T_{ij}x=\left[ \begin{matrix}\eta_1 & \eta_2\cdots \eta_n\end{matrix}\right]^T$y=Tij​x=[η1​​η2​⋯ηn​​]T,则有$\eta_k= \begin{cases} \xi_k & k\neq i,j \\ c\xi_i+s\xi_j & k=i \\ -s\xi_i+c\xi_j & k=j \end{cases}$ηk​=⎩⎪⎨⎪⎧​ξk​cξi​+sξj​−sξi​+cξj​​k​=i,jk=ik=j​总可以选$c=\frac{\xi_i}{\sqrt{\xi_i^2+\xi_j^2}},s=\frac{\xi_j}{\sqrt{\xi_i^2+\xi_j^2}}$c=ξi2​+ξj2​​ξi​​,s=ξi2​+ξj2​​ξj​​,使得$y=\left[ \begin{matrix}\eta_1 & \eta_2&\sqrt{\xi_i^2+\xi_j^2}&\cdots & 0&\eta_n\end{matrix}\right]^T$y=[η1​​η2​​ξi2​+ξj2​​​⋯​0​ηn​​]T,其中$\sqrt{\xi_i^2+\xi_j^2}$ξi2​+ξj2​​为第i项，0为第j项

3.两个定理

• 定理一
  设$x=\left[ \begin{matrix}\xi_1 & \xi_2\cdots \xi_n\end{matrix}\right]^T$x=[ξ1​​ξ2​⋯ξn​​]T,存在有限个Givens矩阵的乘积$T$T，使得$Tx=|x|e_1$Tx=∣x∣e1​，其中$e_1=[1,0...0]$e1​=[1,0...0]
  证明：很容易，对x做$T_{12},T_{13}...T_{1n}$T12​,T13​...T1n​,即可得证

• 定理二
  对任何非列零向量x，及任何单位向量z($|z|=1$∣z∣=1)，存在有限个Givens矩阵使得$Tx=|x|z$Tx=∣x∣z
  证明：对左右两面分别进行上面定理的变换，则可得到$T^{(1)}x=|x|e_1$T(1)x=∣x∣e1​$T^{(2)}|x|z=|x|e_1$T(2)∣x∣z=∣x∣e1​ 令两边相等即可得到结果