这是线性代数系列的第二篇，国内外一般的课程与教材都是从线性方程组开始讲线性代数，从高斯消元、高斯约旦这些方法入门线性代数也是对新手比较友好的。这个系列的文章可能会比国内的教材更接近线代的本质（博主自以为 ），所以对做题、套路之类的涉及不多，主要参考的是Meyer的《Matrix Analysis and Applied Linear Algebra》和Manolis的youtobe频道，还有3Blue1Brown的bilibili频道。

矩阵与线性变换

线性变换是线代另一个无比重要的概念，我觉得理解线性变换才算开始理解线代了，而不是仅仅受限于做题。这篇文章会先介绍线性变换（linear transformation）的定义，再把它和我们熟悉的矩阵联系起来，再讲一些常见的定理与线性变换的一个应用，最后也会稍微讲一讲矩阵的本质和矩阵乘法的来源。为了便于理解，特意省去了关于抽象代数的一些知识，感兴趣的读者请看这一个视频。

线性变换定义

给定两个实数域的向量空间 $U,V$U,V，从 $U$U 到 $V$V 的线性变换是一个函数 $\tau: U\to V$τ:U→V，并且满足：$\forall a_1,a_2\in \mathbb{R}, \forall u_1,u_2\in U: \tau(a_1u_1+a_2u_2) = a_1\tau(u_1)+a_2\tau(u_2)$∀a1​,a2​∈R,∀u1​,u2​∈U:τ(a1​u1​+a2​u2​)=a1​τ(u1​)+a2​τ(u2​)
大家都清楚，函数本质上是一种映射关系（mapping），所以这个 $\tau$τ 也就是从空间 $U$U 到 $V$V 的一个映射，其中 $U$U 是它的定义域，$V$V 是它的值域。上面的那条等式是在说：定义域中任何向量的线性组合的映射，都等于其映射的线性组合。然后 $\tau$τ 的像，就是 $U$U 中所有向量的映射的集合，记为 $im(\tau) = \tau(U) = \{v\in V| v=\tau(u)\ for\ u\in U \}$im(τ)=τ(U)={v∈V∣v=τ(u) for u∈U}，所以$\tau(U)\subseteq V.$τ(U)⊆V.

线性变换的矩阵表示

看完上面的定义可能大部分读者只有一个懵懂的认识，不能真正理解，所以接下来我们具体的告诉大家，线性变换在现实中长什么样子。

任何矩阵$A\in R^{m\times n}$A∈Rm×n 都可以看做一个线性变换（重点！），为 $\tau_A: R^n\to R^m$τA​:Rn→Rm，且 $\tau_A(u)=Au$τA​(u)=Au，通常用$R^n \overset{ A }{\rightarrow} R^m$Rn→ARm 来表示这个映射。而实际上每一个线性映射也都有其对应的矩阵形式，也就是说任意线性变换 $\tau: R^n\to R^m$τ:Rn→Rm 一定要满足 $\tau = \tau_A,\ with\ A\in R^{m\times n}$τ=τA​, with A∈Rm×n，而且 $A = [\tau(e_1)\ \tau(e_2)\ \cdots\ \tau(e_n)]$A=[τ(e1​) τ(e2​) ⋯ τ(en​)]，其中 $e_i$ei​ 是 $R^n$Rn 的一组标准基，只有第 i 个元素为1，其余元素均为0。
下面给大家证明这一点
$\begin{aligned} \forall u\in R^n, \tau(u) &= \tau(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i)\\ &= \sum_{i=1}^n \alpha_i \tau(e_i) \\ &= \begin{bmatrix} \tau(e_1)\ \tau(e_2)\ \cdots\ \tau(e_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}\\ &= Au \end{aligned}$∀u∈Rn,τ(u)​=τ(i=1∑n​αi​ei​)=i=1∑n​αi​τ(ei​)=[τ(e1​) τ(e2​) ⋯ τ(en​)​]⎣⎢⎢⎢⎡​α1​α2​⋮αn​​⎦⎥⎥⎥⎤​=Au​
第一个等号是把 $u$u 写成基的线性组合，第三个等式是把多项式用矩阵乘法表示，之后发现后面那个向量就是 $u$u，所以根据 $\tau_A(u)=Au$τA​(u)=Au 得出 $A = [\tau(e_1)\ \tau(e_2)\ \cdots\ \tau(e_n)]$A=[τ(e1​) τ(e2​) ⋯ τ(en​)] 。

此外还要引入一个重要概念，$ker(\tau) = \{ u\in U| \tau(u) = 0 \}$ker(τ)={u∈U∣τ(u)=0}，中文名应该是线性变换的核。这一概念读者可以与矩阵的零空间类比，基本一样。留个小例题，证明：$ker(\tau)=0 \Leftrightarrow \tau是单射$ker(τ)=0⇔τ是单射

看到这读者可能会有点感觉（希望如此），每个矩阵实际上都代表着一个线性变换，是从一个向量空间到另一个向量空间的映射。

定理介绍

这一小节会介绍一些线性变换的常用定理，基本上都和空间维度扯点关系。

首先还是引入一些概念，我们把线性映射称作同构（isomorphism），如果它是个双射（bijiective），或者等价地：$im(\tau)=V$im(τ)=V and $ker(\tau)=0$ker(τ)=0。
而如果 $\tau: U\to V$τ:U→V 是个同构，那么 $U,V$U,V 就是同构的（isomorphic）

定理一、两个向量空间是同构的，当且仅当他们的维度相同
证明

定理二、 如果$\tau: U\to V$τ:U→V 是一个线性变换，那么
$dim\ U = dim\ im(\tau) + dim\ ker(\tau)$dim U=dim im(τ)+dim ker(τ)
$Proof.$Proof.
令 $H$H 是 $ker(\tau)$ker(τ) 在空间U的补，$U=ker(\tau) \oplus H$U=ker(τ)⊕H，那么 $dim(U)=dim ker(\tau)+dim H$dim(U)=dimker(τ)+dimH，所以我们要证明$dimH=dim\ im(\tau)$dimH=dim im(τ)。 根据定理一，我们需要证明两个空间是同构的，也就是要找出他们之间的一个同构映射（isomorphism）$\phi: H\to im(\tau)$ϕ:H→im(τ).

令 $\phi=\tau|_{H}$ϕ=τ∣H​，也就是把 $\tau$τ 的定义域限制在了 H，此时 $\phi$ϕ 必然是一个线性变换，来证明他是个双射就OK啦。

首先证明满射，对 $\forall v\in im(\tau), \exists u\ s.t.\ v=\tau(u)$∀v∈im(τ),∃u s.t. v=τ(u)，存在唯一的 $h\in H, \xi\in ker(\tau): u=h+\xi \Rightarrow v=\tau(u)=\tau(h+\xi)=\tau(h) = \tau|_H(h) = \phi(h)$h∈H,ξ∈ker(τ):u=h+ξ⇒v=τ(u)=τ(h+ξ)=τ(h)=τ∣H​(h)=ϕ(h). 所以 $\tau$τ 是满射。

对于单射，我们需要证明 $ker(\phi)=0$ker(ϕ)=0. 假设存在 h 使得 $\phi(h)=0 \Rightarrow 0=\phi(h) = \tau(h)\Rightarrow h\in ker(\tau)$ϕ(h)=0⇒0=ϕ(h)=τ(h)⇒h∈ker(τ), 所以 $h\in H\cap ker(\tau)=0\Rightarrow h=0$h∈H∩ker(τ)=0⇒h=0. So $ker(\phi)=0$ker(ϕ)=0. 所以是单射。

线性变换与换基

原谅我现在懒得写了。。。有空补上！
先放张图大家自己体会吧 ????

相似矩阵

矩阵乘法