清华大学公开课线性代数2——第11讲：计算机图像

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笔记源自：清华大学公开课：线性代数2——第11讲：计算机图像

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引言

熟悉的三维空间的基本变换是：平移(translation)，伸缩(rescaling)，旋转(rotation)，投影(projection)和反射(reflection)。现在一个问题：平移变换只对于点才有意义，因为平移变换会改变点的坐标，可是普通向量没有位置概念，只有大小和方向。那如何区分点和向量呢？这时候引入齐次坐标系(homogeneous coordinate system)。

对于任意一个3维空间点 $p$ 的坐标均是参照（相对于）基点（原点）的坐标，可以表示成 $p = x {\vec{e}}_{1} + y {\vec{e}}_{2} + z {\vec{e}}_{3} + O = x (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + y (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + z (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ，然而 $\vec{o p} = x {\vec{e}}_{1} + y {\vec{e}}_{2} + z {\vec{e}}_{3}$ 是不参照任何东西的，为了在线性代数中统一表示和区分，把 $p = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}) \vec{o p} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 0 \end{matrix})$ ，这时三维空间中的一个点的齐次坐标是 $(x, y, z, 1)$ 或 $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix})$ ，一个向量的齐次坐标是 $(x, y, z, 0)$ 或 $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 0 \end{matrix})$ ，所以平移变换就不是 $R^{3} \to R^{3}$ 。

定义一个函数 $f : R^{n} \to R^{N}$ 是一个刚体运动(rigid motion)，如果 $\forall v, w \in R^{n}, | | f (v) - f (w) | | = | | v - w | |$ ，即内部的各点间距离不变。定理 $R^{3}$ 上的刚体运动是平移，旋转和反射的合成。此时， $f (v) = A v + v_{0}$ ，其中 $A$ 是三阶正交阵。三阶正交阵的分类：设 $A$ 是一个三阶正交阵，则存在实可逆阵 $P$ ， $P^{- 1} A P = (\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ & 0 \\ s i n θ & c o s θ & 0 \\ 0 & 0 & \pm 1 \end{matrix}) = B$ ，其中 $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ，根据相似的性质： $| B | = \pm 1 \to | A | = \pm 1$ ， $A$ 本身是一个正交阵，因此 $A^{T} A = I_{3}$ 。

若 $B_{33 = 1}, A P = P B \to A α_{3} = α_{3}$ 是一个旋转矩阵，旋转轴是 $α_{3}$ 所在直线，旋转角度是沿 $α_{3}$ 方向逆时针转 $θ$ 角；若 $B_{33} = - 1, A P = P B \to A α_{3} = - α_{3}$ 是 $A$ 将 $α_{3}$ 变为 $- α_{3}$ ，将 $α_{1}, α_{2}$ 所在平面逆时针旋转 $θ$ 角，此时 $A$ 的作用就是镜面反射和旋转，这里镜面指的是x-y平面。