求逆矩阵
方程求解法
如上图所示[1237]是可逆的,只要[x1y1x2y2]可求出唯一解即可
图中的[1237][x1y1x2y2]=[1001]可以写成下面形式:
[1237][x1y1]=[10]
[1237][x2y2]=[01]
然后用方程形式求出:x1,y1,x2,y2
x1+3y1=12x1+7y1=0x2+3y2=02x2+7y2=1
得:x1=7,y1=2,x2=−3,y2=1
即:[x1y1x2y2]=[7−2−31]
增广矩阵消元法
还可以使用增广矩阵方式,将系数矩阵与目标变化矩阵(目标为:单位矩阵)放到一块,再一同处理消元法,将系数变化为目标,最终增广矩阵添加的目标矩阵就变为逆矩阵了:
系数矩阵:[1237]
目标矩阵:[1001]
增广矩阵:[1237∣∣1001]
然后处理消元:
-
[1237∣∣1001] – 原始第一步
-
[1031∣∣1−201] – 先消元为上三角:将第二行减去第一行的2倍
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[1001∣∣7−2−31] – 再将上三角,出对角线的都消为0:将第一行减去第二行的3倍
这是可以看到增广矩阵增加的部分[7−2−31]就是我们上面分开来的方程求出来的解。
具象化系数
[13]大概是这样
[1237]大概是这样
可逆总结
注意上面是用二维来讲解会比较清楚,推广到N维,也是一样的。
参考
- 网易公开课,Gilbert Strang教授讲的线性代数:乘法和逆矩阵,该课视频中的31:00~34:00之间有说明。