序言

掌声鼓励，本蒟蒻终于学会FFT啦！
死磕了接近5天的FFT，中途断断续续，请教了所谓的“数论讲师”葛某。
他居然告诉我：
他不会！！！
他不会！！！
他不会！！！
他不会！！！
他不会！！！
他不会！！！

前排膜拜dalao

如果觉得本人蒟蒻的，勿喷，可以看这两位dalao的Blog：
Mikcoo
Picks

前排预警：这篇Blog有很多公式！！！

预备知识

数论dalao可以直接跳过了……

多项式

形如A(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn$A\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$的称为多项式。
a0,a1,⋯,an$a_0,a_1,\cdots ,a_n$称为多项式的系数。
x$x$为不定元，不表达任何确定值。
不定元x$x$在多项式中最大的次数称为多项式的次数。

多项式的系数表达法

多项式的系数表示为n+1$n+1$维向量a⃗ =(a0,a1,⋯,an)$\overrightarrow{a}=\left(a_0,a_1,\cdots ,a_n\right)$。
简单理解为一个数组就好……数学家总是喜欢搞些奇奇怪怪的东西。

多项式的点值表示法

已知对于一元n$n$次方程可以用n+1$n+1$个点的坐标表示。（理由自证）
多项式的点值表示为{(xi,A(xi)):0≤i≤n}$\{(x_i,A(x_i)):0\le i\le n\}$。
还可用点值向量y⃗ =(A(x0),A(x1),⋯,A(xn))$\overrightarrow{y}=(A(x_0),A(x_1),\cdots ,A(x_n))$

复数

形如a+bi$a+bi$的数称为复数，其中a,b$a,b$为实数，i$i$为虚数单位，满足i2=−1$i^2=-1$’

单位根

n$n$次单位根ωn${\omega }_n$为满足ωnn=1${\omega }_n^n=1$的复数，共有n$n$个，均匀的分布在复平面的单位圆上，将单位圆n$n$等分。
所以n$n$次单位根的算术表示为ωn=e2πin${\omega }_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$。

多项式乘法

给定两个多项式A(x),B(x)$A(x),B(x)$，求C(x)=A(x)B(x)$C(x)=A(x)B(x)$

系数表示法下的运算

∵C(x)=∑i=12ncixi$\because C(x)=\sum _{i=1}^{2n}{c}^i{x}^i$
∴C(x)=∑j+k=i,0≤j,k≤najbkxi$\therefore C(x)=\sum _{j+k=i,0\le j,k\le n}{a}_j{b}_k{x}^i$
易证时间复杂度为O(n2)$O(n^2)$

点值表示法下的运算

∵C(x)=A(x)B(x)$\because C(x)=A(x)B(x)$
∴C(xi)=A(xi)B(xi)$\therefore C(x_i)=A(x_i)B(x_i)$
∴C(x)$\therefore C(x)$的点值表示为{(xi,A(xi)B(xi)):1≤i≤n}$\{(x_i,A(x_i)B(x_i)):1\le i\le n\}$
易证时间复杂度为O(n)$O(n)$

Fast Fourier Transformation

FFT在竞赛中一般用于加速多项式乘法运算。
现在引入FFT（Fast Fourier Transformation）。
我们观察到对于以上两种运算，点值表示法下的运算明显优于系数表示法下的运算，考虑将运算过程转移到点值表示法下。
使用暴力强行将系数表示法转换为点值表示法的时间复杂度是O(n2)$O(n^2)$，这里不再做讨论。

FFT算法流程

英文看的辛不辛苦啊，我就不翻译。（手动滑稽）

Discrete Fourier Transform

DFT的目的是将系数向量a⃗ $\overrightarrow{a}$转换为点值向量y⃗ $\overrightarrow{y}$。
将n$n$个相异实数x0,x1,⋯,xn−1$x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1}$代入多项式。
∴A(xk)=∑i=0n−1aixik,(0≤k≤n−1)$\therefore A(x_k)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}_k^i,(0\le k\le n-1)$
∴A(x)$\therefore A(x)$的点值表示为{(xk,A(xk)):0≤k≤n−1}$\{(x_k,A(x_k)):0\le k\le n-1\}$
∴$\therefore$点值向量y⃗ =(A(x0),A(x1),⋯,A(xn−1))$\overrightarrow{y}=(A(x_0),A(x_1),\cdots ,A(x_{n-1}))$
点值向量y⃗ $\overrightarrow{y}$称为系数向量a⃗ $\overrightarrow{a}$的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），记作y⃗ =DFTn(a⃗ )$\overrightarrow{y}=DF{T}_n(\overrightarrow{a})$
易证上述做法时间复杂度为O(n2)$O(n^2)$

Cooley-Tukey算法（蝶形算法）

以下摘自Wiki：

库利－图基快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）[1]是最常见的快速傅里叶变换算法。这一方法以分治法为策略递归地将长度为N = N1N2的DFT分解为长度分别为N1和N2的两个较短序列的DFT，以及与旋转因子的复数乘法。这种方法以及FFT的基本思路在1965年J. W. Cooley和J. W. Tukey合作发表An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series之后开始为人所知。但后来发现，实际上这两位作者只是重新发明了高斯在1805年就已经提出的算法（此算法在历史上数次以各种形式被再次提出）。
库利－图基算法最有名的应用，是将序列长为N的DFT分割为两个长为N/2的子序列的DFT，因此这一应用只适用于序列长度为2的幂的DFT计算，即基2-FFT。实际上，如同高斯和库利与图基都指出的那样，库利－图基算法也可以用于序列长度N为任意因数分解形式的DFT，即混合基FFT，而且还可以应用于其他诸如分裂基FFT等变种。尽管库利－图基算法的基本思路是采用递归的方法进行计算，大多数传统的算法实现都将显示的递归算法改写为非递归的形式。另外，因为库利－图基算法是将DFT分解为较小长度的多个DFT，因此它可以同任一种其他的DFT算法联合使用。

从中我们注意到一句话：“……因此这一应用只适用于序列长度为2$2$的幂的DFT计算……”。
所以，为了计算的方便，我们将n−1$n-1$位多项式A(x)=∑i=0naixi$A(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$补位至2的幂。（n=2n,m∈Z$n=2^n,m\in \mathbb{Z}$，高位补为0$0$）
将n$n$个单位根ω0n,ω1n,⋯,ωn−1n${\omega }_n^0,{\omega }_n^1,\cdots ,{\omega }_n^{n-1}$代入多项式。
∴A(ωkn)=∑i=0n−1ai(ωkn)i,(0≤k≤n−1)$\therefore A\left({\omega }_n^k\right)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i({\omega }_n^k{)}^i,(0\le k\le n-1)$
∴A(x)$\therefore A(x)$的点值表示为{(ωkn,A(ωkn)):0≤k≤n−1}$\{({\omega }_n^k,A({\omega }_n^k)):0\le k\le n-1\}$
∴$\therefore$点值向量y⃗ =(A(ω0n),A(ω1n),⋯,A(ωn−1n))$\overrightarrow{y}=(A({\omega }_n^0),A({\omega }_n^1),\cdots ,A({\omega }_n^{n-1}))$
现在Cooley-Tukey算法将每一项系数按指数奇偶分类，以此将系数减半：
A(ωkn)=∑i=0n−1aiωkin=∑i=1n2−1a2iω2kin+ωkn∑i=1n2−1a2i+1ω2kin$\begin{array}{rl}A({\omega }_n^k)& =\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{\omega }_n^{ki}\\ & =\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i}{\omega }_n^{2ki}+{\omega }_n^k\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i+1}{\omega }_n^{2ki}\end{array}$
现在我们考虑如何将代入的值也减半：
因为：
ω2n=(e2πin)2=e4πin=e2πin/2=ωn2$\begin{array}{rl}{\omega }_n^2& ={\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)}^2\\ & =e^{\frac{4\pi i}{n}}\\ & =e^{\frac{2\pi i}{n/2}}\\ & ={\omega }_{\frac{n}{2}}\end{array}$
且当k<n2$k<\frac{n}{2}$时
ωk+n2n=ωn2n⋅ωkn=−1⋅ωkn=−ωkn$\begin{array}{rl}{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}& ={\omega }_n^{\frac{n}{2}}\cdot {\omega }_n^k\\ & =-1\cdot {\omega }_n^k\\ & =-{\omega }_n^k\end{array}$
所以：
当k<n2$k<\frac{n}{2}$时
A(ωkn)A(ωn2+kn)=∑i=1n2−1a2iω2kin+ωkn∑i=1n2−1a2i+1ω2kin=∑i=1n2−1a2iωkin2+ωkn∑i=1n2−1a2i+1ωkin2=∑i=1n2−1a2iωkin2+ωn2+kn∑i=1n2−1a2i+1ωkin2=∑i=1n2−1a2iωkin2−ωkn∑i=1n2−1a2i+1ωkin2$\begin{array}{rl}A({\omega }_n^k)& =\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i}{\omega }_n^{2ki}+{\omega }_n^k\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i+1}{\omega }_n^{2ki}\\ & =\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{ki}+{\omega }_n^k\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i+1}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{ki}\\ A({\omega }_n^{\frac{n}{2}+k})& =\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{ki}+{\omega }_n^{\frac{n}{2}+k}\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i+1}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{ki}\\ & =\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{ki}-{\omega }_n^k\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i+1}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{ki}\end{array}$
需要代入的值有ω0n2,ω1n2,⋯,ωn2−1n2${\omega }_{\frac{n}{2}}^0,{\omega }_{\frac{n}{2}}^1,\cdots ,{\omega }_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2}-1}$，问题转换为两个折半的子问题，可通过递归或迭代实现。
易证时间复杂度为O(nlogn)$O(n\log n)$。
至此，通过Cooley-Tukey算法，我们将DFT的时间复杂度降为O(nlogn)$O(n\log n)$。

Inverse Discrete Fourier Transform

IDFT的目的是将点值向量y⃗ $\overrightarrow{y}$转换为系数向量a⃗ $\overrightarrow{a}$
IDFT就相当于把DFT过程中的ωkn${\omega }_n^k$换成ω−kn${\omega }_n^{-k}$，然后做一次DFT，之后结果除以n$n$就可以了。
这里只给出结论，用兴趣的同学可以自行研究。（你就是懒得写）

总结

对于多项式的运算（高精度预算），使用FFT可以实现十分好的时空复杂度优化。