哈密顿算子与梯度、散度、旋度

哈密顿算子 点乘 叉乘

1、定义与性质

哈密顿算子：（数学符号：$\nabla$∇（又称nabla，奈布拉算子）），读来作Hamilton。
向量微分算子：$\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$∇=∂x∂​i+∂y∂​j​+∂z∂​k

性质：

• 矢量性
• 微分算子
• 只对算子$\nabla$∇右边的量发生微分作用

麦克斯韦方程的微分形式：
$\frac{\partial D_{x}}{\partial x}+\frac{\partial D_{y}}{\partial y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}=\rho$∂x∂Dx​​+∂y∂Dy​​+∂z∂Dz​​=ρ$\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0$∂x∂Bx​​+∂y∂By​​+∂z∂Bz​​=0
$\frac{\partial H_{z}}{\partial y} -\frac{\partial H_y}{\partial z} = \delta_{x}+\frac{\partial D_{x}}{\partial t}$∂y∂Hz​​−∂z∂Hy​​=δx​+∂t∂Dx​​$\frac{\partial H_{x}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial x}=\delta_{y}+\frac{\partial D_{y}}{\partial t}$∂z∂Hx​​−∂x∂Hz​​=δy​+∂t∂Dy​​$\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=\delta_{z}+\frac{\partial D_{z}}{\partial t}$∂x∂Hy​​−∂y∂Hx​​=δz​+∂t∂Dz​​
$\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=-\frac{\partial B_{x}}{\partial t}$∂y∂Ez​​−∂z∂Ey​​=−∂t∂Bx​​

$\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial t}$∂z∂Ex​​−∂x∂Ez​​=−∂t∂By​​

$\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=-\frac{\partial B_{z}}{\partial t}$∂x∂Ey​​−∂y∂Ex​​=−∂t∂Bz​​

引进哈密顿算子，上式简化为：
$\begin{cases} \nabla \cdot \vec{D}=\rho \\ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ \nabla \times \vec{H}=\vec{\delta}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∇⋅D=ρ∇⋅B=0∇×H=δ+∂t∂D​∇×E=−∂t∂B​​

2、标量场的梯度

笛卡尔坐标系下的梯度：
$\nabla{P}=\frac{\partial P}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial P}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial P}{\partial z} \vec{k}=gradP$∇P=∂x∂P​i+∂y∂P​j​+∂z∂P​k=gradP

（结果为矢量）

3、矢量场的散度

$\nabla \bullet \vec{V}=\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z}=div \vec{V}$∇∙V=∂x∂Vx​​+∂y∂Vy​​+∂z∂Vz​​=divV
（结果为标量）

4、矢量场的旋度

笛卡尔坐标系下旋度定义：
$\nabla \times \vec{V}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{array}\right| = \left(\frac{\partial V_z}{\partial y} -\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial z}-\frac{\partial V_{z}}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}-\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right) \vec{k} = rot \vec{V}$∇×V=∣∣∣∣∣∣​i∂x∂​Vx​​j​∂y∂​Vy​​k∂z∂​Vz​​∣∣∣∣∣∣​=(∂y∂Vz​​−∂z∂Vy​​)i+(∂z∂Vx​​−∂x∂Vz​​)j​+(∂x∂Vy​​−∂y∂Vx​​)k=rotV
（结果为矢量）

5、哈密顿算子重要运算性质

$\nabla \cdot(\vec{A} \times \vec{B})=\vec{B} \cdot \nabla \times \vec{A}-\vec{A} \cdot \nabla \times \vec{B}$∇⋅(A×B)=B⋅∇×A−A⋅∇×B

6、向量内积与外积的性质与几何意义

向量内积的性质：

• a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）
• a·b = b·a. （对称性）
• (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立. （线性）
• cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
• |a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立.

内积（点乘）的几何意义包括：

• 表征或计算两个向量之间的夹角
• b向量在a向量方向上的投影

向量外积的性质

• a × b = -b × a. （反称性）
• (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （线性）

向量外积的几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。