06 - 逆矩阵、列空间与零空间
06 - 逆矩阵、列空间与零空间
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尽管我们从几何的角度理解线性代数，但是线性代数的起源并不是这样，而是起源于解方程组。这也是它当今最有用的用途之一。
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比如下面这个方程组它只具有常系数，并且只进行加法，没有x^2或者sin(x)这样的。而且我们把未知量放在左边，常数项放在右边。这种格式很对齐。就被称作线性方程组。
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我们就可以写成这样矩阵相乘的形式：并且分别给他们起名字为A，x，v。
也就可以得到这样的式子：
让我们以简单的2阶为例，从几何的角度，我们只不过要寻找一个向量x，使得x经过A这样的变换后与v重合。（注意几何的角度是从右往左读：x经过A的变换）
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既然A经过x这样的变换后与v重合，那么反过来，v倒着做上述A的变换后就应该回到x的状态。这里的“倒着”我们把它称作逆变换。如果A是“顺时针旋转90度”，那么A的逆就是逆时针旋转90度。不难理解A*A的逆的结果，就是发现i与j保持了它初始的状态：
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克莱蒙法则：“非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是A的行列式不等于0”。记不住这个法则不妨看看它与逆变换的关系。如果你想让方程有解，则需要做一个逆变换让v回到x的状态，如果能找到这个逆变换，并且追踪一下v的终态，那么那个终态就是x，也就是方程有解：
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如果行列式等于0，对于非齐次来说是无解的，这不仅因为A的逆在行列式等于0的情况下不存在，更因为A这个变换它把本是2维（平面）的x压缩到更低的维度上。或者把本是3维（空间）的x压缩到2维（平面）上，以前者为例，你不可能把一条线“反向变换”成一个2维平面。
更详细的说，这种“逆变换”不是这个简单的一个方程组或者一个函数能搞定的，因为面是由无数条线组成的，这种逆变换要求将一个单独的向量变换为一整条线的向量。而函数只能将1个输入转化为1个输出（这是由函数的定义决定的）
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判断方程组有无解另一个方法是用秩（rank），让我们从几何的角度看一下秩是什么意思。
当变换的结果为一条直线时，也就是说结果是一维的，我们称这个变换的秩为1。
当变换后的向量落在某个二维平面上（如下图从3维变2维），我们称这个变换的秩为2。
所以秩代表了变换后空间的维数。就像对一个2*2的矩阵，它的秩最大为2，也就是说基向量i和j最大能张成一个2维空间。那么对于一个3*3的矩阵来说，秩=2意味着空间被压缩到一个平面上，秩=1意味着空间位压缩到一条线上。
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更精确的，我们有时会见到“列空间”这个词，现在不难理解，列空间就是列张成的空间，2*2的矩阵可能会张成一个2维空间，也可能张成一个1维空间。对于秩来说，更精确的秩的定义是列空间的维数。
btw，零向量一定在列空间中，因为线性变换要求“原点不变”（忘记的可以看第2节）
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下面的内容可能会有一点困难。对于一个满秩变换（r=列数）来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身。
但是对于非满秩变换，由于它将空间压缩到一个更低的维度上。也就是会有一系列的向量在变换后成为0向量：（下图是r=1，有一条线上所有的向量在压缩后变成0向量）
我们把变换后落在原点（0向量）的向量的集合成为矩阵的零空间或者核，或者说这些向量构成了一个零空间。当方程组的v为一个零向量时，方程组为齐次方程，此时零空间给出的就是这个方程组所有可能的解。因此克莱默法则“n元齐次线性方程组有非零无穷解的充要条件是其系数行列式为零”，零空间的概念有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的。
下一节是附注2，会讨论非方阵的内容，然后是点积