3D数学笔记——四元数的旋转
- 四元数与3D旋转
现在我们可以来讨论四元数与3D旋转之间的关联了。
回忆一下之前讨论过的3D旋转，如果我们需要将一个向量v沿着一个用单位向量所定义的u旋转θ度，那么我们可以将这个向量v分解为正交与旋转轴的v⊥ 以及平行于旋转轴的 v∥．我们可以对这两个分量分别进行旋转，获得v ′ ⊥ 和 v ′ ∥．
将它们相加就是 v 旋转之后的结果 v ′ = v ′ ∥ + v ′ ⊥．
我们可以将这些向量定义为纯四元数：
那么我们就能得到
和之前一样，我们在这里也分开讨论 v⊥ 和 v∥ 的情况．
1. v⊥ 的旋转
我们首先讨论正交与旋转轴的v⊥．我们之前推导过，如果向量v⊥．正交与旋转轴u，那么
但是我们仍然遗留下来一个u × v⊥，幸运的是，利用四元数的性质，我们可以将它写成四元数的形式，我们之前推导过，如果有两个纯四元数
类似地，
因为 v⊥ 正交于 u，所以 u · v⊥ = 0，也就是说
注意，uv⊥ 同样是一个纯四元数．我们离最终的结论已经很近了！将这个等式以及 之前定义的纯四元数代入，我们就能获得：
因为四元数的乘法遵守分配律，我们可以继续变换这个等式：
你应该可以注意到，如果我们将 (cos(θ) + sin(θ)u) 看做是一个四元数，我们就能 将旋转写成四元数的乘积了．到此为止，我们已经将旋转与四元数的积联系起来了． 如果令 q = cos(θ) + sin(θ)u，我们能得到：
如果我们能构造一个 q，那么我们就能完成这个旋转了．我们可以对 q 继续进行变 形：
也就是说如果旋转轴u的坐标为旋转角为θ，那么完成这一旋转所需要的四元数q可以构造成
这样我们就完成了对v⊥ 的旋转，
2. v∥ 的旋转
接下来是平行于旋转轴的 v∥．我们之前讨论过，如果一个向量 v∥ 平行于 u，那么 旋转不会对它作出任何的变换，也就是说：
3. v 的旋转
有了这些知识，我们能够获得一般情况下 v ′ 的结果了：
我们当然可以像以前那样将 v∥ 和 v⊥ 拆开，继续进行化简．但是这里我们不会这么 做，因为我们有更好的办法来进一步化简它． 在进一步化简之前，我们需要证明几个引理：
这个引理的证明很简单，只需要使用 Graßmann 积和一些三角恒等式就可以了：
其实这个引理的几何意义就是，如果绕着同一个轴 u 连续旋转 θ 度两次，那么所做 出的变换等同于直接绕着 u 旋转 2θ 度． 有了这个引理，我们再来回忆一下四元数逆的定义：
现在，我们就能够对原本的旋转公式进行变形了：
在这里，我们引入了一个新的四元数 根据刚刚证明的 引理，我们可以验证
你应该能够注意到，和 q 一样，∥p∥ = 1，p 也是一个单位四元数，也就是
将这个结果代入之前的等式:
我们还能进一步化简这个公式，但在继续之前还需要再证明两个引理：
这个引理的证明同样需要用到 Graßmann 积．我们先计算等式左边：
接下来计算等式的右边：
下面是第二个引理：
它的证明与之前的引理完全类似：
现在，我们就能对之前的公式做出最后的变形了：
显然，(v∥ + v⊥) 其实就是 v，所以
- 旋转的复合
在这一小节里，我们来证明一下使用四元数的旋转是可以复合的．旋转的复合其实 在我们之前证明 q 2 = [cos(2θ), sin(2θ)u] 的时候就已经涉及到一点了，但是这里我 们考虑的是更一般的情况．
假设有两个表示沿着不同轴，不同角度旋转的四元数 q1, q2，我们先对 v 进行 q1 的 变换，再进行 q2 的变换，变换的结果是什么呢？
我们不妨将这两次变换分步进行．首先，我们实施 q1 的变换，变换之后的 v为:
接下来，对 v ′ 进行 q2 的变换，得到 v ′′：
我们需要对这两个变换进行复合，写为一个等价变换的形式：
为了写成上面这种形式，我们还需要一个引理：
仍然使用与之前类似的方法：
所以，我们能得到：
这也就是说，qnet = q2q1．注意四元数乘法的顺序，我们先进行的是 q1 的变换，再 进行 q2 的变换．这和矩阵与函数的复合非常相似，都是从右往左叠加．
- 双倍覆盖问题
四元数与 3D 旋转的关系并不是一对一的，同一个 3D 旋转可以使用两个不同的四 元数来表示．对任意的单位四元数
，q 与 −q 代表的是同 一个旋转．如果 q 表示的是沿着旋转轴 u 旋转 θ 度，那么 −q 代表的是沿着相反的旋 转轴 −u 旋转 (2π − θ) 度
所以，这个四元数旋转的角度为 2 π − 1 2 θ = 2π − θ．从下面的图中我们可以看 到，这两个旋转是完全等价的：
其实从四元数的旋转公式中也能推导出相同的结果：