A 线性空间的概念和性质

A.a 什么是线性空间

<1> 集合 ---- 现代数学最基本的一个概念

集合通常用大写的英文字母表示，其元素用小写的字母表示。
一些特殊的集合通常用特定的符号表示，如：

有些集合的元素可以做”运算“，如实数集，复数集
有的集合的元素不可以做“运算”，概率论中的样本空间

<2> 定义1（数域）：

简而言之：数域就是对加减乘除四则运算封闭的非空数集。例如：实数集 $\mathbb{R}$R，复数集 $\mathbb{C}$C

<2> 定义2（线性空间）

• 注：
  

A.b 线性空间例子

<1> 例1

<2> 例2

当数域$F$F是实数域时，$\mathbb{C}$C是实线性空间。
当数域$F$F是复数域时，$\mathbb{C}$C是复线性空间。

<3> 例3

<4> 例4

<5> 例子5

A.c 线性空间的性质

<1> 线性空间$V(F)$V(F)中的零元唯一。

<2> 线性空间$V(F)$V(F)中的负元唯一。

<3> 对于线性空间$V(F)$V(F)中的任意$\alpha$α,有：

<4> 对于数域$F$F中的任意数$k$k,有：