图形学入门：坐标变换

在几何阶段，我们不妨想象这样一个过程：我们在真实世界中，是如何拍照的呢？
1，寻找拍摄对象（模型变换）
2，摆放相机（相机变换）
3，调节相机参数（投影变换）
4，拍照（视口变换）->光栅化（下一阶段）

首先看一下坐标变换的原理:
蓝色坐标系在红色坐标系中的表示：
首先由于蓝色坐标系跟红色坐标系的坐标方向是相反的，所以在矩阵中，单位向量的值为负值。

模型变换
将本地坐标变换为世界坐标：比如我想要将一个模型导入UE4，这个模型本身是有形状的，它各个顶点的相对位置都是固定的，所以有一个本地的坐标。而我要将这个模型导入世界，它在世界中就要有自己的坐标，这个过程就是模型变换。
这个过程里，矩阵是四维的。（三维的单位向量+一个相对坐标值）

具体的变换过程如图：要得到本地模型在世界中的坐标，首先要有一个模型变换矩阵，这个矩阵就是M。
M相对世界的偏移是(0,0,-5)，那么模型变换矩阵就是一个单位矩阵+偏移量。本地坐标P是(0,3,0)，而其
向量对应就是(0,3,0,1)，1代表它是一个点。世界坐标就是MP。

相机变换
比如相机坐标的偏移是（0,0,5），那么相机坐标系就是单位矩阵+偏移量。那么相机坐标是否就是Mview*Mmode呢？

答案是错；
要得到相机坐标下的位置，首先要把相机坐标系移动到世界坐标系中，即相机坐标系的逆变换。

所以相机坐标系就如上图所示

正交投影变换

正交投影：设置相机时会设置一个视锥体，那么从相机的位置看来，其他的坐标就已经固定好了。

步骤如下：
1，移动视锥体到相机坐标的中心。
2，归一化，将边的大小缩放到-1到1之间。
3，Z的方向要反向，z本来是默认指向屏幕外的方向，但这并不是相机拍摄的方向。

1，位移矩阵


最后就是，相机会从视锥体的中心向外看。

2，缩放矩阵


3，Z反向矩阵
只把Z轴的单位向量取反即可

最后，矩阵运算

这里注意，最先运算的放在最右边，最晚运算的放在最左边，这是矩阵乘法的性质。因为矩阵乘法对顺序敏感。

最后合成的正交变换投影矩阵就是这个。

所需参数：6个。即*面和远平面的两个点，是一个对角线。Xmax,Ymax,Zmaxa,Xmin,Ymin,Zmin。将这两个点的值代入，即可得到矩阵。

透视投影
符合近大远小原理的投影


上图的左图就是原始图的俯视图，右图是从x轴负方向看过去的图。可以看出Znear/Z=Xp/X;

Z值为了符合习惯，要乘以-1取反方向，上下同乘以一个z，再经过变化，可以得到右侧的矩阵。
然后对应平面上的所有点乘以这个矩阵，就会得到投射的对应点。

视口变换
将（-1,1）范围转换到屏幕坐标，深度值从（-1,1）转换到（0,1），缩放2倍
1，缩放
2，移动
合成到一起之后就变成了了下图的公式；（左侧移动，右侧缩放）：
移动：(Xmin+Xmax)/2,(Ymax+Ymin)/2,1/2;
缩放：(Xmax-Xmin)/2,(Ymax-Ymin)/2,1/2;