菜鸡HP的被虐日常（2）难搞的四边形面积②

$By\quad HolyPush$ByHolyPush

话说法力无边的$cj$cj进来之后让愚蠢的$HP$HP顶礼膜拜。
先再次放上原题以及它的图：
在$Rt\Delta ABC$RtΔABC中，$B$B为直角，$A=60°$A=60°，$AB=4\sqrt{3}$AB=43​，点$D$D在边$BC$BC上，且$BD=2$BD=2，点$G$G在边$AB$AB上，点$E、F$E、F在边$AC$AC上，线段$DE$DE与$GF$GF相交于点$O$O，$DE=GF$DE=GF，且$∠EOF=60°$∠EOF=60°，则四边形$DGEF$DGEF面积的取值范围是$?$?

$cj$cj在把她的解题过程告诉聪明的$txl$txl后，聪明的$txl$txl感到颜面扫地并且为他没有想到那么简单的方法磕了$13$13个头。他决定私藏此方法，但是在愚蠢的$HP$HP的死缠烂打之下，他还是妥协了惹。

看到$∠A=60°，∠EOF=60°$∠A=60°，∠EOF=60°，是不是应该想到点什么厚$？$？

愚蠢的$HP：$HP：四边形中一个角和它对角的补角相等，这看起来是四点共圆！
四点共圆，能带来什么呢？

聪明的$txl$txl：既然是四点共圆，那么我们再用一下刚刚那条性质，可以得到$∠AGF=∠DEC$∠AGF=∠DEC。不如记为$\theta$θ吧。
然后貌似依然没有任何思路……那依然秉承暴力的原则，把能求的都求出来。
但是我们的头脑依然没有被淋淋迷惑，我们觉得$GF=DE$GF=DE这个条件是时候该派上用场了。那我们来看看在$\Delta AGF,\Delta CDE$ΔAGF,ΔCDE里能不用正弦定理。
答案是显然的。

在$\Delta AGF$ΔAGF中，$\frac{GF}{sin60°}=\frac{AF}{sin\theta}$sin60°GF​=sinθAF​
在$\Delta CDE$ΔCDE中，$\frac{DE}{sin30°}=\frac{CD}{sin\theta}$sin30°DE​=sinθCD​

聪明的$txl$txl：你现在能看出来什么了吗？
愚蠢的$HP: Mòdé……$HP:Moˋdeˊ……
聪明的$txl$txl：笨！两个式子除一除不就好了吗！
愚蠢的$HP:！$HP:！

两式相除，左边因为$GF=DE，$GF=DE，只剩下$\frac{\sqrt{3}}{3}$33​​，右边则只剩下$\frac{AF}{10}$10AF​
惊奇地发现$AF=\frac{10\sqrt{3}}{3}$AF=3103​​，是个定值！也就是说，$F$F点的位置已经被我们确定下来了。

那求$GF$GF的范围不是易如反掌？最短就是$GF⊥AB$GF⊥AB的时候，最大就是$G,B$G,B重合的时候，即$GF∈[5,\frac{2\sqrt{93}}{3}]$GF∈[5,3293​​]。正当愚蠢的$HP$HP打算写上答案的时候$……$……

聪明的$txl$txl：笨！你就$GF$GF要范围，$DE$DE没有存在感的吗？
愚蠢的$HP:！$HP:！

考虑$DE$DE的范围，最小的时候为$DE⊥AC$DE⊥AC的时候，最大的时候为$E,A$E,A重合的时候。即$DE∈[5,2\sqrt{13}]$DE∈[5,213​]。

愚蠢的$HP$HP：等等！最大的时候不应该是$E,C$E,C重合吗？
聪明的$txl$txl：想想上一种做法里是怎么说的，$∠EDC$∠EDC不能小于$60°$60°。也就是说，$E$E只能在垂足上方移动。最大的时候自然就是和$A$A重合的时候了。
愚蠢的$HP$HP：$Ah$Ah，那我们就要把$DE,GF$DE,GF的范围整合一下，取个交集，也就是$[5,\frac{2\sqrt{93}}{3}]$[5,3293​​]。虽然答案和第一个是一样的，但是第二步是完全不能少的。代入公式中，$S∈[\frac{25\sqrt3}{4},\frac{31\sqrt{3}}{3}]$S∈[4253​​,3313​​]，和上一次的答案一样，天啦噜！我们对了惹！

说罢，$cj$cj又扔给了愚蠢的$HP$HP一道题……

欲知后事如何，倾听下回因式分解。