线性代数笔记18：线性变换与基变换
每一个矩阵都可以看作是线性变换，矩阵乘法也是由线性变换的复合引出的。
线性变换
理解
线性变换是一种映射，对于向量来说，就是线性空间到线性空间的映射。这里不严格给出线性变换的定义，但举例来说，投影变换、反射变换、不定积分等都可以看做是线性变换。
与线性变换相对的是仿射变换，例如：
就是一个仿射变换，可以通俗的理解为对现象变换加上了一个偏移量。
性质
由线性变换的性质，我们可以得到：
- 若线性相关，则线性相关。
即线性变换保持向量空间的线性关系。
例如，线性变换总是把直线变成直线，把三角形变成三角形，把平行四边形变成平行四边形。。。
线性变换的矩阵表示
我们想用一个矩阵来表示一个向量中所有线性空间中的变换，也就是用矩阵来描述这个线性变换。
设和分别是数域上维、维向量空间，是到的线性变换。
在中取一组基，则对于任意的,可以用基表示为，这也就是在这组基下的坐标。
因此，。我们可以发现，要求这个线性空间中任意向量的线性变化，只需要知道基的变换即可。
因此，我们可以在中取一组基，则得到基的线性变换为：
称矩阵为线性变换在中给定基和中给定基下的矩阵表示。
线性变换与矩阵之间的关系
线性变换的唯一性
对于一个线性变换，在确定了一组基后，对应于唯一的矩阵。
而一个矩阵在一组基下，也对应唯一一个线性变换。
可逆线性变换
设为可逆线性变换，且在的某一组基下的矩阵为，则在这组基下的矩阵为。
例子
设线性变换定义为，线性变换定义为，求线性变换在与标准基下的矩阵。
注意到：
因此在的标准基与的标准基下有：
因此：
又因为：
验证可得：
这就是线性变换的复合。
基变换
我们可以将基变换理解为特殊的线性变换，因为基变换其实是可逆线性变换，也就是说，始终是可逆矩阵。
设是恒同变换，则：
则恒同变换在两组基下的矩阵表示与的这两组基之间的基变换矩阵。
线性变换在不同基下的矩阵
我们发现，线性变换与基的选取有关：同一个线性变换在不同基下的矩阵表示不相同。
因此，我们希望找出线性变换与基无关的性质，或者说，找出线性变换的矩阵表示如何随着基的改变而改变。
对于这样一个变换，我们既可以通过矩阵直接得到，也可以通过基变换，在新基上用矩阵变换，最后回到原来的基上来表示，因此可以得到：
我们发现，对于同样一个线性变化，在不同基下的变换矩阵时相似的，同时，可逆矩阵表示这个基变换矩阵。
这是个很好的性质，我们因此可以理解对角化和奇异值分解，在此不再赘述，可以参考目录。