投影矩阵推导

其实问题就是给定y方向的视域角$\alpha$α，和视域的宽高比$r$r，求投影矩阵。

我们首先假设投影平面距离摄像机的距离为$d$d，视域的宽为$w$w，高为$h$h，近剪裁面距离摄像机的距离为$n$n，远剪裁面距离摄像机的距离为$f$f，那么首先有：
$r= \frac{w}{h}$r=hw​

$tan\frac{\alpha}{2} = \frac{h}{d}$tan2α​=dh​

假设观察坐标系中的任一点$P$P，坐标为$(x,y,z)$(x,y,z)，通过投影变换到投影平面的坐标为$(x',y',z')$(x′,y′,z′)，由相似三角形，得到：
$\dfrac{x'}{x} = \dfrac{d}{z}$xx′​=zd​

$\dfrac{y'}{y} = \dfrac{d}{z}$yy′​=zd​

综合上式，求出$x'$x′和$y'$y′：
$x'= \dfrac{h x}{tan\dfrac{\alpha}{2} z}$x′=tan2α​zhx​

$y'= \dfrac{h y}{tan\dfrac{\alpha}{2} z}$y′=tan2α​zhy​

位于视锥体中的$x'$x′和$y'$y′满足$-w \leq x' \leq w$−w≤x′≤w，$-h \leq y' \leq h$−h≤y′≤h，那么将其归一化有：
$x'= \dfrac{x}{r tan\dfrac{\alpha}{2} z}$x′=rtan2α​zx​

$y'= \dfrac{y}{tan\dfrac{\alpha}{2} z}$y′=tan2α​zy​

注意到上述求得的$x'$x′和$y'$y′里的分母中均包含$z$z，为了用矩阵形式来表达投影变换，必须要借助齐次坐标，有：
$[x, y, z, 1] \cdot \begin{bmatrix} \dfrac{1}{rtan\dfrac{\alpha}{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{tan\dfrac{\alpha}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & 1 \\ 0 & 0 & B & 0 \end{bmatrix} = [x'\cdot z, y' \cdot z, Az+B, z]$[x,y,z,1]⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​rtan2α​1​000​0tan2α​1​00​00AB​0010​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=[x′⋅z,y′⋅z,Az+B,z]

因而可得到$z'=\dfrac{Az+B}{z}$z′=zAz+B​。同时，我们希望$z'$z′满足：

1. $0 \leq z' \leq 1$0≤z′≤1
2. 对于原始的$z_1,z_2$z1​,z2​，如果满足$z_1 < z_2$z1​<z2​，那么$z'_1 < z'_2$z1′​<z2′​

因为原始的$z$z范围为$n \leq z \leq f$n≤z≤f，所以有：
$\begin{cases} \dfrac{An+B}{n} = 0 \\ \dfrac{Af+B}{f} = 1 \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​nAn+B​=0fAf+B​=1​
解方程组，得到：
$\begin{cases} A = \dfrac{f}{f - n} \\ B = \dfrac{nf}{n - f} \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​A=f−nf​B=n−fnf​​
综上，得到最终的投影矩阵为
$\begin{bmatrix} \dfrac{1}{rtan\dfrac{\alpha}{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{tan\dfrac{\alpha}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{f}{f - n} & 1 \\ 0 & 0 & \dfrac{nf}{n - f} & 0 \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​rtan2α​1​000​0tan2α​1​00​00f−nf​n−fnf​​0010​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

所以，投影变换后的$z' = \dfrac{f}{f - n} + \dfrac{nf}{(n - f)z}$z′=f−nf​+(n−f)znf​。

让我们观察下不同情况下$n$n和$f$f的取值变换$z'$z′的函数曲线。

左边的曲线是$(n=1,f=100)$(n=1,f=100)，右边的曲线是$(n=10,f=100)$(n=10,f=100)。不难看出，当$n$n和$f$f的差距越小时，变换后的$z'$z′精度更高。

在进行投影变换之后，透视除法之前，这时候坐标系称作齐次剪裁空间或者投影空间。在透视除法之后，被称作标准设备坐标系。