学习笔记 | 分析连续数据的数学
01 对于无限的理解
02 极限
“若x无限放大，则函数f（x）无限接近于定数p”可以表示为：
在这种情况下，p被称作f（x）的极限值。
03 欧拉常数e
用以下极限来定义的定数e被称作欧拉常数或自然对数的底。
04 积分：求解面积
积分与面积
y=f（x）与x=a、x=b（a＜b）以及x轴围成的图形面积S，使用∫与dx表示如下：
05 连续型随机变量与概率密度函数
- 取连续型数据的随机变量X被称为连续型随机变数。
概率密度函数
- 连续型随机变数X取值范围为a≤X≤b时，其概率P（a≤X≤b）为下图所示的面积，即
概率密度函数的性质
（1）f（x）总是≥0 …
注：随机变数X可取的值，被限定在α≤x≤β的范围内时，
06 连续型随机变量的平均值与方差
连续型随机变数的期待值E（X（或平均值）与方差V（X）
连续型随机变数X的取值范围在α≤X≤β，且概率密度函数为f（x）时
07 正态分布
正态分布的平均值与标准差
当X是呈正态分布N（μ, σ2）的随机变数时：平均值：E（X）=μ
标准正态分布
当随机变数X呈正态分布时，假设随机变数Z满足
08 正态分布表
标准正态分布重要的性质
- 随机变数Z呈标准正规分布N（0,1）时，-1.96≤Z≤1.96的面积占全体面积的95%。
09 什么是推测统计
推测统计分为两个重要模块
- 一是通过研究样本对母集团做出概率预测的“推算”；
- 二是针对已知数据的差值，找出产生差值原因的“检验”。
使用标准正态分布进行“推算”
“μ的95%置信区间是α≤μ≤β” 是指：“在母集团中随机观测与这一次相同数量的数据，且用同样的方式重复确定置信区间的话，那么，在100次中大概有95次，μ的值落在a以上b以下的范围内。"
使用标准正态分布进行“检验”
- 统计学中的检验是一种合理判断数据是否存在异常的手段。
- 首先，有95概率发生的事件被视为“发生概率较大”的事件。以这一标准进行的检验被称为 “有意水准5%验证” 。
在已知母集团呈标准差为σ的正态分布时，建立“真正的平均值为μ”这一假说，并进行“有意水准5%验证”后，如果针对被观测的数据X来说：
- 有名的t检验是利用了t分布（由于在实际工作中，标准差（σ）是未知的，常用S作为σ的估算值，为了与μ变换区别，称为t变换，统计量t值的分布称为t分布。）进行的检验。而呈正态分布的母集团中抽出的数据样本呈标准正态分布（当数据量在数百甚至数千以上时，t分布与标准正态分布几乎一致）就十分接近于t分布。