6.1 矩阵的特征向量与特征值

犹如世界上每个人都有自己的特点一样，每个矩
阵也有其内在的特性。可逆性、秩、初等变换的结果等属于矩阵的代数性质，而特征值、特征向量偏向于反映矩阵的几何特性。

A是n阶矩阵，x是n维列向量，则$Ax$Ax也是n维列向量，当然它己经改变了原来的$x$x的大小与方向。有没有一个特别的非零向量$x$x，使得向量$Ax$Ax仅仅使向量x伸长了若干倍而没有改变其方向呢？这个使$Ax=\lambda x$Ax=λx成立的特别的向量因矩阵A而定，反映A的内在特性，故称之为特征向量，相应的数称为特征值。

特征值和特征向量的应用

比如Google公司的成名作PageRank,就是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个web各个网页“节点"之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值"分；再比如图像处理、量子力学、数据挖掘等方面，都有应用。

特征向量不仅在数学上很重要，在物理，材料，力学等方面都能一展拳脚，s.J.Leon在一本线性代数书里这样说“特征值在我们生活中非常普遍，只要有振动就有特征值（振动的自然频率）。如果你曾经弹过吉他，你就求解了一个特征值问题"。

美国1940年建造了塔科马海峡桥，开始这座桥有小的振动，很多人好奇的在这座移动的桥上驾驶汽车，大约4个月后振动变大，最后这座桥坠落水中·这是由于风的频率接近这座桥的固有频率引起了共振，而这座桥的固有频率是桥的建模系统的绝对值最小的特征值。这就是特征值对于工程师分析建筑物的结构时非常重要的原因。一个工程师总是试图使他的桥梁或他的火箭的自然频率远离风的频率或液体燃料的频率；而在另一种极端情况，一个证券经纪人则努力去接近市场的自然频率线。

• 汽车的设计者研究特征值是为了抑制噪音从
  而创造一个安静的乘车环境。
• 石油公司借助特征值分析可以找到石油储藏
  地点。
• 特征值也可以用用于检查固体的裂缝，当一根量被撞击，它的固有频率（特征值）能够被听到，如果这根梁有回响表明他没有裂缝；如果声音迟钝，则这根梁有裂缝。
• 用收音机收听广播时要改变谐振频率直到它与正在广播的频相匹配，因此设计收音机时要利用特征值。

定义：设A为n阶方阵，若存在数$\lambda$λ及非零向量x使$Ax=\lambda x$Ax=λx，则称数$\lambda$λ为A的特征值，x为A的对应于$\lambda$λ的特征向量。
例

注：

1. 只有方阵才有特征向量；
2. 特征值使非零列向量；
3. 对应于同一特征值的特征向量有无穷多。

分析

代数学基本定理

一个n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）。
关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。 第一个严格证明是高斯给出的。
例
求矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &3 \end{pmatrix}$A=⎝⎛​100​020​003​⎠⎞​的特征值。
$\left | A-\lambda I \right |=\begin{vmatrix} 1-\lambda &0 &0 \\ 0 &2-\lambda &0 \\ 0 &0 &3-\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)$∣A−λI∣=∣∣∣∣∣∣​1−λ00​02−λ0​003−λ​∣∣∣∣∣∣​=(1−λ)(2−λ)(3−λ)

$\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=3$λ1​=1,λ2​=2,λ3​=3

对角矩阵$\begin{Bmatrix} \lambda_{1} & & & \\ &\lambda_{2} & & \\ & &... & \\ & & &\lambda_{n} \end{Bmatrix}$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​λ1​​λ2​​...​λn​​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​的特征值就是主对角矩阵。
例
求矩阵$A=\begin{Bmatrix} -2 &1 &1 \\ 0 &2 &0 \\ -4 &1 &3 \end{Bmatrix}$A=⎩⎨⎧​−20−4​121​103​⎭⎬⎫​的特征值和特征向量。


例
$A=\begin{Bmatrix} 1 & 2&2 \\ 2& 1 & -2\\ -2&-2 & 1 \end{Bmatrix}$A=⎩⎨⎧​12−2​21−2​2−21​⎭⎬⎫​
解

练习
求下列矩阵的特征值和特征向量
$A=\begin{pmatrix} 0 & 0&1 \\ 0& 1 & 0\\ 1&0 & 0 \end{pmatrix}$A=⎝⎛​001​010​100​⎠⎞​

特征值和特征向量的性质

定理1
若$\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}$λ1​,λ2​,...,λn​为方阵A的n个特征值，则：
(i)$\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}=?|A|;$λ1​λ2​...λn​=?∣A∣;
(ii)$\lambda_{1}+ \lambda_{2}+..+\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$λ1​+λ2​+..+λn​=a11​+a22​+...+ann​
定理2
方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关。

若 $\lambda$λ 是 A 的一个特征值，则$f(\lambda)=a_{0}+a_{1}+\lambda+...+a_{m}\lambda_{m}$f(λ)=a0​+a1​+λ+...+am​λm​ 是矩阵多项式 $f(A)=a_{0}I+a_{1}A+...+a_{m}A^{m}$f(A)=a0​I+a1​A+...+am​Am 的特征值。
例
设λ是方阵 A 的特征值，对应的特征向量为x。
证明：
(1) $k\lambda$kλ是$kA$kA的特征值，对应的特征向量仍为x。
(2) $\lambda^{2}$λ2是$A^{2}$A2的特征值。
(3) 当 A 可逆时，$\lambda^{-1}$λ−1是$A^{-1}$A−1的特征值，对应的特征向量仍为x。
证
（1）$Ax=\lambda x;(kA)x=(k\lambda)x$Ax=λx;(kA)x=(kλ)x
（2）$A^{2}=A(Ax)=A(\lambda x)=\lambda(Ax)=\lambda(\lambda x)=\lambda^{2}x$A2=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)=λ2x
（3）$A^{-1}(Ax)=A^{-1}(\lambda x)=\lambda A^{-1}x;A^{-1}x=\frac{1}{\lambda}x$A−1(Ax)=A−1(λx)=λA−1x;A−1x=λ1​x

练习

6.2 相似矩阵与对角化

定义
设A、B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P 使$P^{-1}AP=B$P−1AP=B， 称矩阵A与B相似。特别地，如果A与对角矩阵相似, 称A可对角化。
相似矩阵的性质

1. 相似的矩阵一定等价，反之不对。
2. 相似的矩阵有相同的特征值，从而有相同的行列式。
3. 若A与B相似，则$A^{-1}$A−1与$B^{-1}$B−1，$A^{m}$Am与$B^{m}$Bm也相似。

下面讨论对角化的问题

这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量， 就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它 拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。

推论 若n阶方阵A有n个不同的特征值, 则A可对角化。注意，并不是所有的方阵都能对角化，例如

所以A的特征值为$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=-1$λ1​=λ2​=λ3​=−1。
把$\lambda=-1$λ=−1代入$(A-\lambda I)x=0$(A−λI)x=0, 解得基础解系$x=(1,1,-1)^{T}$x=(1,1,−1)T , 只有一个线性无关的特征向量，故 A不能对角化。

6.3 实对称矩阵的对角化

对称矩阵：$A=A^{T}$A=AT
正交矩阵：$A^{T}=A^{-1}等价于AA^{T}=I$AT=A−1等价于AAT=I
性质

1. 实对称矩阵的特征值是实数。
2. 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交。
3. 实对称矩阵一定可以对角化，且存在正交阵 Q， 使得Q −1AQ = QTAQ = D。
   其中 D 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。

用正交矩阵化A为对角阵的步骤：
(1) 由$|A-\lambda I|=0$∣A−λI∣=0求出A的全部特征值$\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}$λ1​,λ2​,...,λn​;
(2) 对每个λi ,求方程组$(A-\lambda_{i}I)x=0$(A−λi​I)x=0的基础解系, 即为A的属于特征值λi 的线性无关特征向量;
(3) 将线性无关特征向量正交化、单位化，共可得到 n个两两正交的单位特征向量 q1, q2, … , qn;
(4) 令 Q=(q1, q2, … , qn), 则Q为正交矩阵，且$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=D$Q−1AQ=QTAQ=D

6.3 实对称矩阵的对角化

对称矩阵：$A=A^{T}$A=AT
正交矩阵：$A^{T}=A^{-1}等价于AA^{T}=I$AT=A−1等价于AAT=I
性质：

1. 实对称矩阵的特征值是实数；
2. 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量；
3. 实对称矩阵一定可以对角化，且存在正交阵 Q， 使得Q −1AQ = QTAQ = D. 其中 D 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。

用正交矩阵化A为对角阵的步骤：
(1) 由$|A-\lambda I|=0$∣A−λI∣=0求出A的全部特征值 λ1, λ2,…, λn;
(2) 对每个λi ,求方程组$|A-\lambda I|x=0$∣A−λI∣x=0的基础解系, 即为A的属于特征值λi 的线性无关特征向量;
(3) 将线性无关特征向量正交化、单位化，共可得到 n个两两正交的单位特征向量 q1, q2, … , qn;
(4) 令 Q=(q1, q2, … , qn), 则Q为正交矩阵，且$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=D$Q−1AQ=QTAQ=D。