第四章 图像的频域增强

• 傅里叶变换

1. 频域变换

• 图像增强除可在空域进行外，也可以在变换域进行。最常用的变换域就是频率域

• 对图像进行傅里叶变换就可转到频率域

• 频域增强有直观的物理意义，增强是通过改变图像中不同频率分量来实现的，而不 是对逐个像素进行的

• 图像频谱给出图像全局的性质，用频率分量来分析增强的原理比空域方便

1. 2-D离散傅里叶变换（DFT）的定义

– 一个大小为MxN的图像，DFT以后在频域也是一组MxN的数据，一般而言是一组复数，分别代表原图像在频域的幅频特性和相频特性

– 2-D傅里叶变换基本具有1-D傅里叶变换的性质

• 周期、线性、平移、尺度、共轭对称、微积分、卷积等

• 并具有2-D特有的旋转、可分离等性质

1. 2-D离散傅里叶变换的性质

1. 空域周期和频域频率：∆u∆x=M     ∆v∆y=N

MxN图像大小；

∆x空域--∆u频域 若∆x=2, ∆u=M/2, 表示空间周期为2 的信号，其频域 特性体现在M/2 位置；

若∆u=1, ∆x=M, 表示频域中∆u=1 位置的特性代表空域中以M为周期的信息情况

1. 平移性质：

1. 周期性质

fx,y=fx+kM,y+lN

Fu,v=F(u+kM,v+lN)

k,l为整数

1. 对称性质：对普通情况下的实数图像

– F(u,v)的幅频特性是(u,v)偶函数，相频特性为(u,v)奇函数

– F(u,v)的实数部分是(u,v)偶函数，虚数部分为(u,v)奇函数

1. 旋转性质

x = r cosθ, y = r sinθ, u =ωcosϕ, v =ωsinϕ

f(r,θ+θ0)⇔F(ω,ϕ+ϕ0)

1. 尺度性质

1. 卷积性质

1. 傅里叶变换相关计算

1. 傅里叶变换与相关计算

-特征提取

-图像配准

1. 图像空域和频域的关系

– 图像大小1100X1100

– 网格大小（尺度性质）

• 上图 50X50

• 下图100X100

– 左边原图，右边频谱幅度

频域平移（平移、周期、对称性质）

– 低频移到图像中心

Fu-M2,v-N2<=>fx,ye-jπx+y=f(x,y)(-1)(x+y)

1. 幅频分量和相频分量

– 幅频特性反映图像信息在频域的所占比重

– 相频分量决定了图像信息的空间关系

– 改变幅频分量将改变图像中高低频信息的比重

• 不会造成空间关系的错乱，图像主体内容尚存

– 改变相频分量将改变图像信息之间的空间关系

• 图像内容将可能完全无法识别

1. 基本频域处理概念：

 

 

– 对应空域的平滑、锐化、高频增强等，频域处理可以通过图像转换到频域，与一个指定的滤波器相乘，达到相同的效果

– 根据卷积性质，这个过程可以描述为：

              fx,y*hx,y<=>Fu,vHu,v=G(u,v)<=>g(x,y)

              • 在空域是图像f(x,y)与模板h(x,y)的卷积运算

• 在频域是图像频谱F(u,v)与滤波器H(u,v)乘积运算

• 运算结果反变换到空域得到需要的结果g(x,y)

例：空域滤波模板的频域分析举例

1. 拉普拉斯锐化的高通频域特性

• 空域模板 gxx,y=4fx,y-fx+1,y-fx-1,y-fx,y+1-f(x,y-1)

• Z变换 Gzx,zy=Fzx,zy[4-zx-zy-zx-1-zy-1]

• 频域系统函数

  

1. 均值平滑低通滤波器

• 空域模板 gx,y=19i=-11j=-11f(x+i,y+j)

• Z变换 Gzx,zy=19i=-11j=-11F(zx,zy)zxizyj

  

1. 基本频域处理概念-处理流程

– 1. 输入图f(x,y)乘(-1)^(x+y) 使变换后中心为低频

– 2. 计算f(x,y) 的傅里叶变换，得到F(u,v)

– 3. 计算G(u,v)=F(u,v) ×H(u,v)，进行滤波

– 4. 计算G(u,v) 的傅里叶逆变换得到 g(x,y)

– 5. 取得g(x,y)的实部

– 6. 结果乘(-1)^(x+y)得到最终结果

处理效果：

• 低通滤波器。

1. 基本概念：

将图像中的高频部分滤除而保留低频部分

– 理想低通滤波器

• 滤波器由其转移函数H(u,v)所述，D0为截止频率

1. 截止频率的选择

-直观判断

 原图：黑白网格中间有低频信息，明暗交替4次

可判断为频率近似为4的低频信息，

分别以3、4、5为截止频率，分离得到的低高频信息

              -信号功率判断法

             

1. 滤波器的改进（理想滤波器存在振铃效应）：

振铃效应：对一幅图像进行滤波处理，若选用的频域滤波器具有陡峭的变化，则会使滤波图像产生“振铃”，所谓“振铃”，就是指输出图像的灰度剧烈变化处产生的震荡，就好像钟被敲击后产生的空气震荡。

  

1. 巴特沃斯滤波器

Hu，v=11+[D(u,v)/D0]2n

• D(u,v)=0,H(u,v)=1

• D(u,v)=∞,H(u,v)=0

• D(u,v)=D0,H(u,v)=0.5

• 符合低通特性

• 高低频之间过渡光滑

• D0为截止频率

• n为复杂系数

             

1. 高斯指数滤波器

Hu，v=e-D(u,v)22D02

• D(u,v)=0,H(u,v)=1

• D(u,v)=∞,H(u,v)=0

• D(u,v)=D0,H(u,v)=0.6

• 符合低通特性

• 高频衰减快

• D0控制滤波器截止特性

1. 频率低通滤波器应用

-美容去皱纹

-去燥

！！！相比空域平滑在保护细节上效果更好

• 高通滤波器

1. 理想高通滤波器

滤波器由其转移函数H(u,v)所述，D0为截止频率

1. 高通滤波器he低通滤波器的关系

Hhigh(u,v)=1-Hlow(u,v)

1. 其他高通滤波器

-巴特沃斯高通滤波器

-高斯高通滤波器

1. 处理结果比较

 

高斯

巴特沃斯

理想高通

 

1. 高频增强滤波器

通过对频域里高通滤波器的转移函数加一个常数以将一些低频分量加回到滤波结果中，从而获得较好的视觉效果

• 带通带阻滤波器

1. 带阻滤波器

-阻止一定频率范围内的信号通过而允许其它频率范围内的信号通过

– 用以消除频率原点为中心的邻域的带阻滤波器是放射对称的，转移函数是：

1. 带通滤波器

– 和带阻滤波器是互补的

– 如果利用带通滤波器把某个带中频率分量提取出来，然后将其从图像中减去，也可获得消除或减弱图像中某个频率范围内的分量的效果

1. 陷波滤波器

– 可以阻止或通过以某个频率为中心的邻域里的频率，本质上仍是带阻或带通滤波器

– 一个用于消除以(u0, v0)为中心，D0为半径的区域内所有频率的理想陷波带阻滤波器的转移函数为：

1. 交互消除周期噪声

– 将退化图像的频谱幅度图G(u, v)显示出来

– 单频率的噪声会在频谱幅度图上产生两个离开坐标原点较远的亮点，这样很容易依靠视觉观察在频率域交互地确定出脉冲分量的位置并在该位置利用带阻滤波器消除它们

• 同态滤波

1. 基本概念

– 同态滤波是在频域中同时压缩动态范围并增强局部对比度，来实现图象增强的方法。

动态范围：统计一下每一点的像素灰度值，灰度级的最小和最大这一范围，便是该图像的动态范围。动态范围越大（灰度直方图越宽），那它的对比度就会越高，当然看着越清楚

对比度：是一个相对值。就一幅图片而言，它反映了图片上最亮处与最黑处的比值。

1. 同态滤波设计思想

– 照相机采集图像可以认为是记录了受照物体的反射光，因此可以将其分成两部分f (x,y)=i(x,y)⋅r(x,y)

– i表示入射光照，r表示反射光。一般假定入射光的动态范围很大但变化缓慢，而反射光部分变化迅速，它确定了图的细部和局部的对比度。因此补救办法应该是 减少i(x,y)范围并同时增加r(x,y)对比度。

– 相对而言i(x,y)是低频信息，r(x,y)是高频

– 两者的相乘关系要分离，通过对数运算实现

图示：

先进行对数运算，然后再进行线性运算，最后以指数运算结束，称之为乘法同态系统。用这类系统进行滤波叫同态滤波。其中取对数的目的使信号满足线性系统的要求，取指数使其变回来

1. 同态滤波函数剖面图：

选择HL < 1，HH > 1，那么H(u, v)就会一方面减弱图像中的低频分量而另一方面加强图像中的高频分量，最终结果是同时压缩了图像整体的动态范围（低频分量减少了）和增加了图像相邻各部分之间的对比度（高频分量加强了）

1. 同态滤波效果：

1. 同态滤波和对比增强

直方图均衡中对关照不均匀采用局部策略解决（全局策略）

关照不均匀也体现在图像的局部统计特征上，可以利用图像局部统计特征来实现类似效果的处理

-利用局部统计特性的增强算法举例：

g(x, y) = A(x, y)[ f (x, y) −m(x, y)]+ m(x, y)

-局部增益函数：

Ax,y=km(x,y)σ(x,y)      0<k<1

– A (x, y)反比于均方差，与f (x, y)和m (x, y)的差相乘能放大图象的局部变化，对比度较小的区域得到的增益较大