下面问题

原题是说，下面的等式
$\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{100k+1}}{\dfrac{t}{100k+1}}\right)dt=\dfrac{\pi}2$∫0∞​k=0∏N​⎝⎜⎛​100k+1t​sin100k+1t​​⎠⎟⎞​dt=2π​

对于$N&lt;9.8\times 10^{42}$N<9.8×1042都成立，但是对$N&gt;7.4\times 10^{43}$N>7.4×1043 不成立。

我觉得这个是靠谱的，但是具体证明或验证比较难。

类似的例子

如果把上面的问题调整成下面的形式,把$k$k前面的系数100改成比较小的自然数，比如1,2,3,$\cdots$⋯ 观察一下规律，比如：

$\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{{\color{red}}k+1}}{\dfrac{t}{{\color{red}}k+1}}\right)dt=\dfrac{\pi}2\tag{1}$∫0∞​k=0∏N​⎝⎜⎛​k+1t​sink+1t​​⎠⎟⎞​dt=2π​(1)
$\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{{\color{red}2}k+1}}{\dfrac{t}{{\color{red}2}k+1}}\right)dt=\dfrac{\pi}2\tag{2}$∫0∞​k=0∏N​⎝⎜⎛​2k+1t​sin2k+1t​​⎠⎟⎞​dt=2π​(2)
$\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{{\color{red}3}k+1}}{\dfrac{t}{{\color{red}3}k+1}}\right)dt=\dfrac{\pi}2\tag{3}$∫0∞​k=0∏N​⎝⎜⎛​3k+1t​sin3k+1t​​⎠⎟⎞​dt=2π​(3)
求 自然数 $N$N 最大分别为多大的时候成立（记这个最大$N$N 为 $N_c$Nc​)？

“容易”（通过计算、借助符号计算工具而不是手动）验证,
对公式(1), $N=1,2$N=1,2时等式成立，但是$N\ge 3$N≥3之后结果就不再一致了，$N^{\color{red}1}_c=2$Nc1​=2；
对公式(2)，$N=1,2,3,4,5,6$N=1,2,3,4,5,6 等式都成立，但是$N\ge 7$N≥7之后，结果就不再一致了,所以,$N^{\color{red}2}_c=6$Nc2​=6。
对于公式(3), 我用软件验证到$N=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,$N=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,都成立，到$N=13$N=13计算实在太耗时了，我就没有等下去(后来发现还是$\dfrac{\pi}2$2π​)，$N=17$N=17的计算，我让计算机自己忙了一个通宵，没出来结果！——谁有超级计算机可以继续验证下去，我的破电脑应该是连$N^{\color{red}3}_c$Nc3​ 都难以验证出来是多少了。

公布下部分已经验证了的结果，可以让期望通过简单的、常规技巧（什么傅里叶卷积、什么泰勒级数、什么复变函数$\cdots$⋯）就能手动得到$N$N比较大的时候的积分的演算解析解的同学们死心：那么长的整数的加减乘除计算、手动求不论有什么技巧、累不累？对人力来说已经算是不可能事件了。

定义这样一个关于自然数$N$N的函数$f\left(N\right)$f(N)

$f_{\color{red}2}\left(N\right)\;\underline{\underline {\text{def}}}\;\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{{\color{red}2}k+1}}{\dfrac{t}{{\color{red}2}k+1}}\right)dt\tag{4}$f2​(N)def​​∫0∞​k=0∏N​⎝⎜⎛​2k+1t​sin2k+1t​​⎠⎟⎞​dt(4)

可以得到：
$\left.\begin{array}{ccl} f_2(1)&amp;=&amp;\dfrac{\pi}2\\[10pt] f_2(2)&amp;=&amp;\dfrac{\pi}2\\[10pt] f_2(3)&amp;=&amp;\dfrac{\pi}2\\[10pt] \cdots&amp;\cdots\\ f_2(6)&amp;=&amp;\dfrac{\pi}2\\[10pt] f_2(7)&amp;=&amp;\dfrac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000} \pi \\[15pt] f_2(8)&amp;=&amp;\dfrac{17708695183056190642497315530628422295569865119}{35417390788301195294898352987527510935040000000} \pi \\[15pt] \end{array}\right\}\quad\tag{5}$f2​(1)f2​(2)f2​(3)⋯f2​(6)f2​(7)f2​(8)​===⋯===​2π​2π​2π​2π​935615849440640907310521750000467807924713440738696537864469​π3541739078830119529489835298752751093504000000017708695183056190642497315530628422295569865119​π​⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫​(5)

可以观察到的趋势是，随着$k$k前面系数的增大，可以保持积分值为$\dfrac{\pi}2$2π​的自然数$N$N的边界也逐渐增大。但没想到到100的时候可以这么大。猜想：这个应该是有规律可循的吧？而且，随着这个$k$k前系数$\color{red}\#$#的增大、边界$N^{\color{red}\#}_c$Nc#​急剧膨胀，这才可能在系数为100的时候就膨胀到$10^{40}$1040这种天文数字级别。

至此我已经可以放弃了。我观望。这个问题的确定性结果是相当值钱的。