二 数学基础-概率-高斯分布

2.1 思维导图简述

数学基础-高斯分布思维导图

2.2 内容

2.2.1 高斯分布的最大似然估计

A 已知

数据条件：$x_{i}$xi​是$p*1维$p∗1维的列向量，代表一组数据。$X$X是N*p维矩阵，表示N组数据。

高斯分布：
一维高斯分布（以一维高斯分布为例）

多维高斯分布

B 求最大似然估计MLE

C 解

D 收获

最大似然估计MLE: maximum likelihood estimation，由高斯提出，R.A Fisher发扬光大。

MLE就是求使概率P(X|θ)取得最大值的θ是多少：

P(X|θ)是什么，P(X|θ)是指在θ发生时，X发生的概率

不同的参数θ发生，会使得P(X|θ)的值不一样，当已知某个参数θ就使这个样本出现的概率最大，我们当然不会去选其他参数，所以干脆就选这个θ啦

2.2.2 高斯分布的最大似然估计无偏和有偏性

背景

高斯分布最大似然估计中，均值估计是无偏的，方差估计是有偏的。

A 已知：

B 求

最大似然估计的均值：$\mu _{MLE}$μMLE​

最大似然估计的方差：$\sigma _{MLE}^2$σMLE2​

C 解

D 收获

高斯分布最大似然估计中，均值估计是无偏的，方差估计是有偏的。

2.2.3 从概率密度角度观察高斯分布

背景

结论

从不一样的概率角度观察和分析高斯分布。发现

二维高斯分布可以用平面上的不同的椭圆曲线来表达。

基础

PDF：probability denstiy function 概率密度函数

马氏距离：

欧式距离：马氏距离Σ=1就是欧式距离

A 已知

多维高斯分布的PDF为：

其中，$x \in {R^p}{\rm{,r}}{\rm{.v}}$x∈Rp,r.v

B 求

多维高斯分布的PDF中，只有x是自变量，$\mu和\Sigma$μ和Σ均是参数。

根据多维高斯分布PDF，求出多维高斯分布的数学表现形式。

C 解

2.2.4 高斯分布的局限性

A 局限性

1. 方差阵Σ是一个p*p维的对称矩阵，太难求了，计算量太大

Σ的参数个数是(p*p-p)/2+p = (p*p+p)/2 = O(p^2)。

通过将Σ设置为对角矩阵可以缓解计算量

2. 只能处理，假设整个模型是高斯分布，但仅用一个高斯分布无法表达模型

GMM中提出混合模型

B 完整过程

2.2.5 求高斯分布的边缘概率以及条件概率

2.2.6 求高斯分布的联合概率分布

2.3 问题

2.3.1 目前还无法完整脱稿推出高斯分布的全部特点。

【待完善推导】

参考资料

[1] shuhuai008. 【机器学习】【白板推导系列】【合集 1～23】. bilibili. 2019.
https://www.bilibili.com/video/BV1aE411o7qd?p=1

[2] 从概率密度角度观察高斯分布手稿