B树和B+树
一,b树
b树(balance tree)和b+树应用在数据库索引,可以认为是m叉的多路平衡查找树,但是从理论上讲,二叉树查找速度和比较次数都是最小的,为什么不用二叉树呢?
因为我们要考虑磁盘IO的影响,它相对于内存来说是很慢的。数据库索引是存储在磁盘上的,当数据量大时,就不能把整个索引全部加载到内存了,只能逐一加载每一个磁盘页(对应索引树的节点)。所以我们要减少IO次数,对于树来说,IO次数就是树的高度,而“矮胖”就是b树的特征之一,它的每个节点最多包含m个孩子,m称为b树的阶,m的大小取决于磁盘页的大小。
█一个M阶的b树具有如下几个特征:
- 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子,且M>2;
- 根结点的儿子数为[2, M];
- 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M],向上取整;
- 非叶子结点的关键字个数=儿子数-1;
- 所有叶子结点位于同一层;
- k个关键字把节点拆成k+1段,分别指向k+1个儿子,同时满足查找树的大小关系。
█有关b树的一些特性,注意与后面的b+树区分:
- 关键字集合分布在整颗树中;
- 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;
- 搜索有可能在非叶子结点结束;
- 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;
█如图是一个3阶b树,顺便讲一下查询元素5的过程:
1,第一次磁盘IO,把9所在节点读到内存,把目标数5和9比较,小,找小于9对应的节点;
2,第二次磁盘IO,还是读节点到内存,在内存中把5依次和2、6比较,定位到2、6中间区域对应的节点;
3,第三次磁盘IO就不上图了,跟第二步一样,然后就找到了目标5。
可以看到,b树在查询时的比较次数并不比二叉树少,尤其是节点中的数非常多时,但是内存的比较速度非常快,耗时可以忽略,所以只要树的高度低,IO少,就可以提高查询性能,这是b树的优势之一。
█b树的插入删除元素操作:
比如我们要在下图中插入元素4:
1,首先自顶向下查询找到4应该在的位置,即3、5之间;
2,但是3阶b树的节点最多只能有2个元素,所以把3、4、5里面的中间元素4上移(中间元素上移是插入操作的关键);
3,上一层节点加入4之后也超载了,继续中间元素上移的操作,现在根节点变成了4、9;
4,还要满足查找树的性质,所以对元素进行调整以满足大小关系,始终维持多路平衡也是b树的优势,最后变成这样:
再比如我们要删除元素11:
1,自顶向下查询到11,删掉它;
2,然后不满足b树的条件了,因为元素12所在的节点只有一个孩子了,所以我们要“左旋”,元素12下来,元素13上去:
这时如果再删除15呢?很简单,当元素个数太少以至于不能再旋转时,12直接上去就行了。
二,b+树
b+树,是b树的一种变体,查询性能更好。m阶的b+树的特征:
- 有n棵子树的非叶子结点中含有n个关键字(b树是n-1个),这些关键字不保存数据,只用来索引,所有数据都保存在叶子节点(b树是每个关键字都保存数据)。
- 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息,及指向含这些关键字记录的指针,且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
- 所有的非叶子结点可以看成是索引部分,结点中仅含其子树中的最大(或最小)关键字。
- 通常在b+树上有两个头指针,一个指向根结点,一个指向关键字最小的叶子结点。
- 同一个数字会在不同节点中重复出现,根节点的最大元素就是b+树的最大元素。
█b+树相比于b树的查询优势:
- b+树的中间节点不保存数据,所以磁盘页能容纳更多节点元素,更“矮胖”;
- b+树查询必须查找到叶子节点,b树只要匹配到即可不用管元素位置,因此b+树查找更稳定(并不慢);
- 对于范围查找来说,b+树只需遍历叶子节点链表即可,b树却需要重复地中序遍历,如下两图: