带限信号

1. ASK信号（带通的PAM信号，调幅）

1.1 如何根据ASK的时域表达式来求其矢量表达式

ASK的时域表达式：

根据施密特正交化思想，求该维度有效分量$r_k(t)$rk​(t)，然后除以$r_k(t)$rk​(t)对应的能量求得基函数：

将$s_m(t)$sm​(t)用基函数表示，前面的系数构成矢量表达式

1.2 如何求ASK中相邻点的最小距离

根据矢量表达式，求任意两个信号点m,n的通项距离公式：

又$A_m = (2m-1-M)$Am​=(2m−1−M)，正负两组，每组$\frac{M}{2}$2M​个
由于不同幅度的信号能量不同，我们对$M$M个信号的能量取平均值，M为偶数：
奇数平方和公式：
$1^2+3^2+\dots+(M-1)^2 = \frac{M(M+1)(M-1)}{6}$12+32+⋯+(M−1)2=6M(M+1)(M−1)​
自然数平方和公式：
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$12+22+32+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)​
平均波形能量和平均比特能量推导如下：

将最小距离用平均比特能量来表示：

1.3 利用最大相关度量准则，对输出信号进行判决

ASK是一维信号，选择离解调后的矢量$r$r最近的幅度电平作为输出

1.4 判决错误的概率（结合上图理解）

标准差叫$\sigma$σ，方差叫$\sigma^2$σ2，正态分布的概率密度函数：

1. $M-2$M−2个内点（一维星座图，非端点的点）：
   
   因为是绝对值大于，所以变成两倍的Q函数，再利用Q函数定义，可以得到上述结果。

2. 2个外点（一维星座图的端点）：外点错误是内点错误概率的一半，因为噪声仅在一个方向上引起错误。
   
   符号的错误概率：
   
   将最小距离$d_{min}$dmin​用平均比特能量$\epsilon_{bavg}$ϵbavg​进行替换，得到符号错误概率的另一种形式：
   

1.5 分析带限信号的性能

符号数量越多，$Q(x)$Q(x)函数中的$x$x越小，$Q(x)$Q(x)函数值越大，符号错误概率越大，提高$\frac{\epsilon_{bavg}}{N_0}$N0​ϵbavg​​可以使$Q(x)$Q(x)函数中的$x$x变大，从而减小符号错误概率。

2. PSK信号（调相）

2.1 如何根据PSK的时域表达式来求其矢量表达式

PSK信号的时域表达式，只是做了个相位的搬移

系数是不能包含变量$t$t的，作为基函数要保证两两正交且基函数自身的能量为单位1，得到PSK的向量表达式为：

2.2 利用最大相关度量准则，对输出信号进行判决

2.3 判决错误的概率

判断错误时会落在两条虚线以外：

换成极坐标形式：

对$V$V进行积分，得到只有相位的PDF，然后再正确判决的区域进行积分，得到正确判决的概率，进而得到错误概率：

特殊的相位调制比特错误概率和符号错误概率：

当$M>4$M>4时，符号错误概率的近似公式，$\gamma_b$γb​为比特信噪比：

2.4 PSK相干解调存在的问题——相位模糊

解决办法：采用差分编码的$PSK$PSK——$DPSK$DPSK
相干解调
由于DPSK是有记忆的，因此当前译码错误会影响到之后的准确率；利用相干解调解调$DPSK$DPSK反而错误概率比正常的$PSK$PSK要高，近似于$PSK$PSK错误概率的2倍。
非相干解调

DPSK信号和PSK信号的优缺点：
PSK信号在小信噪比下性能好于DPSK，在大信噪比只略好于DPSK。
但是DPSK不需要复杂的方法来估计载波相位。

QAM信号（既调幅又调相）

3.1 如何根据QAM的时域表达式来求其矢量表达式

极坐标转直角坐标表示形式转展开形式：

QAM的两个基向量：

QAM的向量表达式：

3.2 利用最大相关度量准则，对输出信号进行判决

由于QAM是既调幅又调相，因此每个信号的能量不一样，最大相关度量准则为：

3.3 判决错误的概率

QAM信号的错误概率主要取决于信号点之间的最小距离
我们设置两种QAM信号的最小距离相等，这样他们的错误概率相等，进而计算平均比特能量来分析两种QAM信号性能的优劣：

4QAM不存在优越性，存在更好的8QAM星座图