[Luogu P1268] 树的重量

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题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树”。

令$N=\{1..n\}$N={1..n}，用一个$N$N上的矩阵$M$M来定义树$T$T。其中，矩阵$M$M满足：对于任意的$i$i，$j$j，$k$k，有$M[i,j] + M[j,k] \ge M[i,k]$M[i,j]+M[j,k]≥M[i,k]。树$T$T满足：

1．叶节点属于集合$N$N；

2．边权均为非负整数；

3．$dT(i,j)=M[i,j]$dT(i,j)=M[i,j]，其中$dT(i,j)$dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图，矩阵$M$M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵$M$M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵$M$M。你的任务就是，根据给出的矩阵$M$M，计算$M$M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵$M$M所能表示的一棵树，这棵树的总重量为$15$15。

输入输出格式

输入格式：

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数$n(2&lt;n&lt;30)$n(2<n<30)。其后$n-1$n−1行，给出的是矩阵$M$M的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过$100$100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以$n=0$n=0结尾。

输出格式：

对于每组输入，输出一行，一个整数，表示树的重量。

输入输出样例

输入样例#1：

5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0

输出样例#1：

15
71

解题分析

两个点的时候显然就是两点距离， 我们从三个点开始讨论。

如果我们原来钦定了两个点$A,B$A,B， 那么现在$C$C多出来的这条链的长度就是$\frac{dis[A][C]+dis[C][B]-dis[B][A]}{2}$2dis[A][C]+dis[C][B]−dis[B][A]​。

那么四个点的情况呢？

很明显， 如果这个新点是从我们选择的两个钦定的点路径上“生长”出去的， 计算出的值就最小， 因此我们每次选取这个值最小的加入到贡献中即可。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 105
int dis[MX][MX];
int dot, ans;
int main(void)
{
    int mn;
    W (233)
    {
        scanf("%d", &dot); if(!dot) break;
        for (R int i = 1; i <= dot; ++i)
        for (R int j = i + 1; j <= dot; ++j)
        scanf("%d", &dis[i][j]), dis[j][i] = dis[i][j];
        ans = dis[1][2];
        for (R int i = 3; i <= dot; ++i)
        {
            mn = INT_MAX;
            for (R int j = 2; j < i; ++j) mn = std::min(mn, (dis[1][i] + dis[i][j] - dis[1][j]) / 2);
            ans += mn;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
}