微分几何笔记（２）：微分流形的例子

我们知道[公式]中存在一个整体的坐标系，使得每个点都有一个坐标与之一一对应，大学之前学习的几何内容，都是在[公式]空间中处理问题。但是存在一些空间，在其上不存在一个整体的坐标系，如三维空间中的球面：[公式]。要想在其上处理问题，就需要将其分为若干个部分，在每个部分上建立坐标系，这就引出了微分流形的概念。

刚接触微分流形的概念理解起来还是比较困难，因此找来一些具体的例子，可以帮助大家理解微分流形的概念。

微分流形

例１： n n n维球面 S n = { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ R n + 1 ∣ ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = 1 } \mathrm{S}^n=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in \mathrm{R}^{n+1}|\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i^2=1\} Sn={(x1​,…,xn+1​)∈Rn+1∣i=1∑n+1​xi2​=1}是 n n n维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。

证明： 取 S n \mathrm{S}^n Sn的拓扑为其作为 R n + 1 \mathrm{R}^{n+1} Rn+1子空间的拓扑，则 S n \mathrm{S}^n Sn是Hausdorff拓扑空间。令
U i + = { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ S n ∣ x i > 0 } U i − = { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ S n ∣ x i < 0 } U_i^+=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\mathrm{S}^n|x_i>0\}\\ U_i^-=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\mathrm{S}^n|x_i<0\} Ui+​={(x1​,…,xn+1​)∈Sn∣xi​>0}Ui−​={(x1​,…,xn+1​)∈Sn∣xi​<0}

φ i + : U i + → R n ,   ( x 1 , … , x n + 1 ) ↦ ( x 1 , … , x i ^ , … , x n + 1 ) φ i − : U i − → R n ,   ( x 1 , … , x n + 1 ) ↦ ( x 1 , … , x i ^ , … , x n + 1 ) \varphi_i^+:U_i^+\to \mathrm{R}^n,\ (x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_{n+1})\\ \varphi_i^-:U_i^-\to \mathrm{R}^n,\ (x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_{n+1}) φi+​:Ui+​→Rn, (x1​,…,xn+1​)↦(x1​,…,xi​^​,…,xn+1​)φi−​:Ui−​→Rn, (x1​,…,xn+1​)↦(x1​,…,xi​^​,…,xn+1​)

其中 i = 1 , 2 , … , n + 1 i=1,2,\dots,n+1 i=1,2,…,n+1，则 φ i + \varphi_i^+ φi+​与 φ i − \varphi_i^- φi−​都是可逆映射，有
( φ i + ) − 1 : φ ( U i + ) → U i + ,   ( x 1 , … , x n ) ↦ ( x 1 , … , x i − 1 , 1 − ∑ j = 1 n x j 2 , x i , … , x n ) ( φ i − ) − 1 : φ ( U i − ) → U i − ,   ( x 1 , … , x n ) ↦ ( x 1 , … , x i − 1 , − 1 − ∑ j = 1 n x j 2 , x i , … , x n ) . (\varphi_i^+)^{-1}:\varphi(U_i^+)\to U_i^+,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_{i},\dots,x_n)\\ (\varphi_i^-)^{-1}:\varphi(U_i^-)\to U_i^-,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},-\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_{i},\dots,x_n). (φi+​)−1:φ(Ui+​)→Ui+​, (x1​,…,xn​)↦(x1​,…,xi−1​,1−j=1∑n​xj2​ ​,xi​,…,xn​)(φi−​)−1:φ(Ui−​)→Ui−​, (x1​,…,xn​)↦(x1​,…,xi−1​,−1−j=1∑n​xj2​ ​,xi​,…,xn​).
考虑映射
φ 2 − ( φ 1 + ) − 1 : φ 1 + ( U 1 + ∩ U 2 − ) → φ 2 − ( U 1 + ∩ U 2 − ) ( x 1 , … , x n ) ↦ ( 1 − ∑ j = 1 n x j 2 , x 2 , … , x n ) , \varphi_2^-(\varphi_1^+)^{-1}:\varphi_1^+(U_1^+\cap U_2^-)\to\varphi_2^-(U_1^+\cap U_2^-)\\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_2,\dots,x_n), φ2−​(φ1+​)−1:φ1+​(U1+​∩U2−​)→φ2−​(U1+​∩U2−​)(x1​,…,xn​)↦(1−j=1∑n​xj2​ ​,x2​,…,xn​),
可知 φ 2 − ( φ 1 + ) − 1 \varphi_2^-(\varphi_1^+)^{-1} φ2−​(φ1+​)−1是 C ∞ C^\infty C∞映射，因此坐标图 ( U 1 + , φ 1 + ) (U_1^+,\varphi_1^+) (U1+​,φ1+​)与 ( U 2 − , φ 2 − ) (U_2^-,\varphi_2^-) (U2−​,φ2−​)是 C ∞ C^\infty C∞相容的。同理可得坐标图册 { ( U i ± , φ i ± ) ∣ i = 1 , 2 , … , n + 1 } \{(U_i^\pm,\varphi_i^\pm)|i=1,2,\dots,n+1\} {(Ui±​,φi±​)∣i=1,2,…,n+1}是 C ∞ C^\infty C∞相容坐标图册，因此唯一确定 S n \mathrm{S}^n Sn上的 C ∞ C^\infty C∞微分结构，因此 S n \mathrm{S}^n Sn是 n n n维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。

例２： 实射影空间 R P n \mathrm{R}\mathrm{P}^n RPn是 n n n维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。

证明： 实射影空间 R P n \mathrm{R}\mathrm{P}^n RPn是Hausdorff空间。令 X = R n + 1 − 0 X=\mathrm{R}^{n+1}-{0} X=Rn+1−0，在 X X X上定义等价关系 ∼ \sim ∼：对 ∀ x , y ∈ X \forall x,y\in X ∀x,y∈X， x ∼ y x\sim y x∼y当且仅当存在 t ∈ R t\in\mathrm{R} t∈R且 t > 0 t>0 t>0使得 y = t x y=tx y=tx，则 R P n \mathrm{R}\mathrm{P}^n RPn即为 X / ∼ X/\sim X/∼.令
U i = { [ ( x 1 , … , x n + 1 ) ] ∣ ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ X ∣ x i ≠ 0 } ,   i = 1 , 2 , … , n + 1 U_i=\{[(x_1,\dots,x_{n+1})]|(x_1,\dots,x_{n+1})\in X|x_i\ne 0\},\ i=1,2,\dots,n+1 Ui​={[(x1​,…,xn+1​)]∣(x1​,…,xn+1​)∈X∣xi​​=0}, i=1,2,…,n+1
其中 [ x ] [x] [x]表示 x ∈ X x\in X x∈X关于等价关系 ∼ \sim ∼的等价类。令 ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ X (x_1,\dots,x_{n+1})\in X (x1​,…,xn+1​)∈X且 x i ≠ 0 x_i\ne 0 xi​​=0，对 ∀ ( y 1 , … , y n + 1 ) ∈ X \forall (y_1,\dots,y_{n+1})\in X ∀(y1​,…,yn+1​)∈X，可知
( x 1 x i , … , x n + 1 x i ) = ( y 1 y i , … , y n + 1 y i )    ⟺    ( x 1 , … , x n + 1 ) ∼ ( y 1 , … , y n + 1 ) (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i})=(\frac{y_1}{y_i},\dots,\frac{y_{n+1}}{y_i})\iff(x_1,\dots,x_{n+1})\sim(y_1,\dots,y_{n+1}) (xi​x1​​,…,xi​xn+1​​)=(yi​y1​​,…,yi​yn+1​​)⟺(x1​,…,xn+1​)∼(y1​,…,yn+1​)
因此，下面的映射 φ i \varphi_i φi​是良定义的单射
φ i : U i → R n ,   [ ( x 1 , … , x n + 1 ) ] ↦ ( x 1 x i , … , x i − 1 x i , x i + 1 x i , … , x n + 1 x i ) ,   i = 1 , 2 , … , n + 1. \varphi_i:U_i\to \mathrm{R}^n,\ [(x_1,\dots,x_{n+1})]\mapsto (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i}),\ i=1,2,\dots,n+1. φi​:Ui​→Rn, [(x1​,…,xn+1​)]↦(xi​x1​​,…,xi​xi−1​​,xi​xi+1​​,…,xi​xn+1​​), i=1,2,…,n+1.
因此 φ i \varphi_i φi​存在逆映射
φ i − 1 : φ i ( U i ) → U i ,   ( x 1 , … , x n ) ↦ [ ( x 1 , … , x i − 1 , 1 , x i + 1 , … , x n + 1 ) ] . \varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i)\to U_i,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto [(x_1,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_{n+1})]. φi−1​:φi​(Ui​)→Ui​, (x1​,…,xn​)↦[(x1​,…,xi−1​,1,xi+1​,…,xn+1​)].
考虑映射
φ 2 ( φ 1 ) − 1 : φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) → φ 2 ( U 1 ∩ U 2 ) ( x 1 , … , x n ) ↦ ( 1 x 1 , x 2 x 1 , … , x n x 1 ) , \varphi_2(\varphi_1)^{-1}:\varphi_1(U_1\cap U_2)\to \varphi_2(U_1\cap U_2)\\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (\frac{1}{x_1},\frac{x_2}{x_1},\dots,\frac{x_{n}}{x_1}), φ2​(φ1​)−1:φ1​(U1​∩U2​)→φ2​(U1​∩U2​)(x1​,…,xn​)↦(x1​1​,x1​x2​​,…,x1​xn​​),
可知 φ 2 ( φ 1 ) − 1 \varphi_2(\varphi_1)^{-1} φ2​(φ1​)−1是 C ∞ C^\infty C∞映射，因此坐标图 ( U 1 , φ 1 ) (U_1,\varphi_1) (U1​,φ1​)与 ( U 2 , φ 2 ) (U_2,\varphi_2) (U2​,φ2​)是 C ∞ C^\infty C∞相容的。同理可得坐标图册 { ( U i , φ i ) ∣ i = 1 , 2 , … , n + 1 } \{(U_i,\varphi_i)|i=1,2,\dots,n+1\} {(Ui​,φi​)∣i=1,2,…,n+1}是 R P n \mathrm{R}\mathrm{P}^n RPn的 C ∞ C^\infty C∞相容坐标图册，因此 R P n \mathrm{R}\mathrm{P}^n RPn是 n n n维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。

例３： 复射影空间 C P n \mathrm{C}\mathrm{P}^n CPn是 2 n 2n 2n维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。

证明： 实射影空间 C P n \mathrm{C}\mathrm{P}^n CPn是Hausdorff空间。令 X = C n + 1 − 0 X=\mathrm{C}^{n+1}-{0} X=Cn+1−0，在 X X X上定义等价关系 ∼ \sim ∼：对 ∀ x , y ∈ X \forall x,y\in X ∀x,y∈X， x ∼ y x\sim y x∼y当且仅当存在 t ∈ C t\in\mathrm{C} t∈C且 t > 0 t>0 t>0使得 y = t x y=tx y=tx，则 C P n \mathrm{C}\mathrm{P}^n CPn即为 X / ∼ X/\sim X/∼.令
U i = { [ ( x 1 , … , x n + 1 ) ] ∣ ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ X ∣ x i ≠ 0 } ,   i = 1 , 2 , … , n + 1 U_i=\{[(x_1,\dots,x_{n+1})]|(x_1,\dots,x_{n+1})\in X|x_i\ne 0\},\ i=1,2,\dots,n+1 Ui​={[(x1​,…,xn+1​)]∣(x1​,…,xn+1​)∈X∣xi​​=0}, i=1,2,…,n+1
其中 [ x ] [x] [x]表示 x ∈ X x\in X x∈X关于等价关系 ∼ \sim ∼的等价类。令 ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ X (x_1,\dots,x_{n+1})\in X (x1​,…,xn+1​)∈X且 x i ≠ 0 x_i\ne 0 xi​​=0，对 ∀ ( y 1 , … , y n + 1 ) ∈ X \forall (y_1,\dots,y_{n+1})\in X ∀(y1​,…,yn+1​)∈X，可知
( x 1 x i , … , x n + 1 x i ) = ( y 1 y i , … , y n + 1 y i )    ⟺    ( x 1 , … , x n + 1 ) ∼ ( y 1 , … , y n + 1 ) (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i})=(\frac{y_1}{y_i},\dots,\frac{y_{n+1}}{y_i})\iff(x_1,\dots,x_{n+1})\sim(y_1,\dots,y_{n+1}) (xi​x1​​,…,xi​xn+1​​)=(yi​y1​​,…,yi​yn+1​​)⟺(x1​,…,xn+1​)∼(y1​,…,yn+1​)
因此，下面的映射 φ i \varphi_i φi​是良定义的单射
φ i : U i → R n ,   [ ( x 1 , … , x n + 1 ) ] ↦ ( x 1 x i , … , x i − 1 x i , x i + 1 x i , … , x n + 1 x i ) ,   i = 1 , 2 , … , n + 1. \varphi_i:U_i\to \mathrm{R}^n,\ [(x_1,\dots,x_{n+1})]\mapsto (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i}),\ i=1,2,\dots,n+1. φi​:Ui​→Rn, [(x1​,…,xn+1​)]↦(xi​x1​​,…,xi​xi−1​​,xi​xi+1​​,…,xi​xn+1​​), i=1,2,…,n+1.
因此 φ i \varphi_i φi​存在逆映射
φ i − 1 : φ i ( U i ) → U i ,   ( x 1 , … , x n ) ↦ [ ( x 1 , … , x i − 1 , 1 , x i + 1 , … , x n + 1 ) ] . \varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i)\to U_i,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto [(x_1,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_{n+1})]. φi−1​:φi​(Ui​)→Ui​, (x1​,…,xn​)↦[(x1​,…,xi−1​,1,xi+1​,…,xn+1​)].
令 π : C → R 2 ,   x + y i ↦ ( x , y ) \pi:\mathrm{C}\to \mathrm{R}^2,\ x+y\mathrm{i}\mapsto (x,y) π:C→R2, x+yi↦(x,y)，显然 π \pi π是 C ∞ C^\infty C∞同胚，因此 π φ i \pi\varphi_i πφi​是 U i U_i Ui​到 π φ i ( U i ) ∈ R 2 n \pi\varphi_i(U_i)\in \mathrm{R}^{2n} πφi​(Ui​)∈R2n的 C ∞ C^\infty C∞微分同胚映射，考虑映射
π φ 2 ( π φ 1 ) − 1 : π φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) → π φ 2 ( U 1 ∩ U 2 ) ( π ( x 1 ) , … , π ( x n ) ) ↦ ( π ( 1 x 1 ) , π ( x 2 x 1 ) , … , π ( x n x 1 ) ) , \pi\varphi_2(\pi\varphi_1)^{-1}:\pi\varphi_1(U_1\cap U_2)\to \pi\varphi_2(U_1\cap U_2)\\ (\pi(x_1),\dots,\pi(x_n))\mapsto (\pi(\frac{1}{x_1}),\pi(\frac{x_2}{x_1}),\dots,\pi(\frac{x_{n}}{x_1})), πφ2​(πφ1​)−1:πφ1​(U1​∩U2​)→πφ2​(U1​∩U2​)(π(x1​),…,π(xn​))↦(π(x1​1​),π(x1​x2​​),…,π(x1​xn​​)),
可知 π φ 2 ( π φ 1 ) − 1 \pi\varphi_2(\pi\varphi_1)^{-1} πφ2​(πφ1​)−1是 C ∞ C^\infty C∞映射，因此坐标图 ( U 1 , π φ 1 ) (U_1,\pi\varphi_1) (U1​,πφ1​)与 ( U 2 , π φ 2 ) (U_2,\pi\varphi_2) (U2​,πφ2​)是 C ∞ C^\infty C∞相容的。同理可得坐标图册 { ( U i , π φ i ) ∣ i = 1 , 2 , … , n + 1 } \{(U_i,\pi\varphi_i)|i=1,2,\dots,n+1\} {(Ui​,πφi​)∣i=1,2,…,n+1}是 C P n \mathrm{C}\mathrm{P}^n CPn的 C ∞ C^\infty C∞相容坐标图册，因此 C P n \mathrm{C}\mathrm{P}^n CPn是 2 n 2n 2n维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。

积流形： 令 M M M和 N N N分别是 m m m维和 n n n维 C k C^k Ck微分流形，它们的微分结构分别为 { ( U i , φ i ) ∣ i ∈ I } \{(U_i,\varphi_i)|i\in I\} {(Ui​,φi​)∣i∈I}和 { ( V j , ϕ j ) ∣ j ∈ J } \{(V_j,\phi_j)|j\in J\} {(Vj​,ϕj​)∣j∈J}， I I I和 J J J分别是相应的指标集。显然， { ( U i × V j ) ∣ i ∈ I , j ∈ J } \{(U_i\times V_j)|i\in I,j\in J\} {(Ui​×Vj​)∣i∈I,j∈J}是拓扑空间 M × N M\times N M×N的开覆盖。定义映射
φ i × ϕ j : U i × V j → R m × R n = R m + n ( p , q ) ↦ ( φ i ( p ) , ϕ j ( q ) ) ,   ( p , q ) ∈ U i × V j ⊂ M × N , \varphi_i\times \phi_j:U_i\times V_j\to\mathrm{R}^m\times\mathrm{R}^n=\mathrm{R}^{m+n}\\ (p,q)\mapsto(\varphi_i(p),\phi_j(q)),\ (p,q)\in U_i\times V_j\subset M\times N, φi​×ϕj​:Ui​×Vj​→Rm×Rn=Rm+n(p,q)↦(φi​(p),ϕj​(q)), (p,q)∈Ui​×Vj​⊂M×N,
则容易证明 { ( U i × V j , φ i × ϕ j ) ∣ i ∈ I , j ∈ J } \{(U_i\times V_j,\varphi_i\times\phi_j)|i\in I,j\in J\} {(Ui​×Vj​,φi​×ϕj​)∣i∈I,j∈J}是 M × N M\times N M×N的 C k C^k Ck相容坐标图册，因此 M × N M\times N M×N是 m + n m+n m+n维 C k C^k Ck微分流形。此时，称 M × N M\times N M×N是 M M M和 N N N的积流形。

例４： n n n维环面 T n = S 1 × … , × S 1 \mathrm{T}^n=\mathrm{S}^1\times\dots,\times\mathrm{S}^1 Tn=S1×…,×S1，是 n n n维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。

证明： T n = S 1 × … , × S 1 \mathrm{T}^n=\mathrm{S}^1\times\dots,\times\mathrm{S}^1 Tn=S1×…,×S1是 n n n个圆环 S 1 \mathrm{S}^1 S1的积空间，而 S 1 \mathrm{S}^1 S1是 １ １ １维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。因此，根据积流形的定义，容易验证 T n \mathrm{T}^n Tn是 n n n维 C ∞ C^\infty C∞微分流形。