Unity Shader入门精要 第4章 矩阵的几何意义 读书笔记

第4章 学习Shader所需的数学基础-矩阵的几何意义

注意：图片的来源基本来自作者冯乐乐的GitHub，感谢作者分享

https://github.com/candycat1992/Unity_Shaders_Book

 

点和矢量可以在图像中画出来，矩阵变换（旋转、缩放和平移）也能够可视化

给定一个点或者矢量，给定一个变换（矩阵），就可以通过数学运算求得新的点和矢量

 

什么是变换：

把一些数据，如 点、方向矢量 甚至是 颜色等，通过某种方式进行转换的过程。

 

变换类型1：线性变换

保留 矢量加 和 标量乘 的变换

 

如：f(x)=2x 表示 经过变换后矢量 x的模将被放大两倍

 

如果要对一个三维矢量进行变换，那么使用 3×3 的矩阵，就可以表示所有的 线性变换

缩放、旋转、错切、镜像、正交投影 都是线性变换

 

变换类型2：平移变换

f(x) = x + ( 1, 2, 3)

如果 x = (1, 1, 1)，那么：

f(x) + f(x) = ( 4, 6, 8)

f(x + x) = (3, 4, 5)

不满足标量乘法，也不满足矢量加法。（不属于线性变换，无法使用 3×3 矩阵表示一个平移变换）

 

变换类型3：仿射变换（线性变换 + 平移变换）

把矢量扩展到四维空间（4×4矩阵）下，即 齐次坐标系，然后可以使用 4×4矩阵表示这个变换

 

齐次坐标（四维齐次坐标 4×4矩阵）：

齐次坐标的维度可以超过四维，齐次坐标是为了方便计算而使用的一种表示方式

为了能够让矩阵表示平移操作，将三维矢量转换为四维矢量，扩展到了 4×4矩阵，多一个维度可以实现对平移的表示

 

三维矢量转换成四维矢量（齐次坐标）：

点：把 w 分量设置为 1

当用一个 4×4矩阵 对一个点进行变换时，平移、旋转、缩放，都会施加于这个点。

方向矢量：把 w 分量设置为 0

当用一个 4×4矩阵 对一个方向矢量进行变换时，平移的效果会被忽略

 

基础变换矩阵：纯平移、纯旋转、纯缩放 的变换矩阵

基础变换矩阵的分解（4个组成部分）：

 

 

使用 4×4矩阵表示平移、旋转 和 缩放

1、平移矩阵：使用矩阵乘法表示。

平移矩阵不属于正交矩阵

 

平移矩阵：

反向平移矩阵：平移矩阵的逆矩阵

 

对一个点进行平移变换：

点的 x、y、z 分量分别增加了一个 位置偏移。

 

在3D中可视化效果：点( x, y, z )平移了单位

 

对一个方向矢量进行平移变换：

 

平移变换不会对方向矢量产生任何影响。矢量没有位置属性，也就是说矢量可以位于空间中的任意一点，因此对位置的改变（即平移）不会对方向矢量产生影响。

 

 

2、缩放矩阵：使用矩阵乘法表示

缩放矩阵一般不是正交矩阵。

缩放矩阵：只适合用于沿坐标轴方向缩放。如果希望在任意方向上进行缩放，就需要使用一个 复合变换（先将缩放轴变换成标准坐标轴，然后进行沿坐标轴的缩放，再使用逆变换得到原来的缩放轴朝向）。

 

缩放矩阵的逆矩阵：原缩放系数的倒数，对点 或者 方向矢量 进行缩放。

 

对一个模型沿空间的 x轴、y轴 和 z轴 进行缩放：

 

对一个方向矢量使用同样的缩放矩阵进行缩放：

 

 

统一缩放：缩放系数都相等

从外观上看，同一缩放是扩大整个模型，非统一缩放会拉伸或者挤压模型。

统一缩放不会改变角度和比例关系，而非统一缩放会改变与模型相关的角度和比例。

例如在对法线进行变换时，如果存在非统一缩放，直接使用用于变换顶点的变换矩阵的话，就会得到错误的结果。

 

3、旋转矩阵：最复杂的变换矩阵

旋转操作需要指定一个旋转轴，这个旋转轴不一定是空间中的坐标轴。

点 绕 x 轴 旋转 θ 度：

 

点 绕 y 轴 旋转 θ 度：

 

点 绕 z 轴 旋转 θ 度：

 

 

旋转矩阵的逆矩阵：旋转相反角度得到

旋转矩阵是正交矩阵，而且多个旋转矩阵之间的串联同样是正交的

 

4、复合变换

平移、旋转 和 缩放 组合起来，形成一个复杂的变换过程。

复合变换可以通过矩阵的串联来实现。

 

 

 

注意：

1、Unity 使用的是 列矩阵，阅读顺序 从右到左，即 先进行缩放变换，再进行旋转变换，最后进行平移变换

2、矩阵乘法 不满足交换律，矩阵乘法顺序很重要，不同的变换顺序得到的结果可能是不一样的。复合变换的结果是依赖于变换顺序的。

3、绝大多数情况下，约定变换的顺序是 先缩放、再旋转、最后平移

4、如果分别绕x轴、y轴和z轴旋转的变换矩阵，要小心旋转的变换顺序。在Unity中，旋转顺序是 zxy

 

 

旋转顺序 zxy，意味着在给定的旋转角度：

得到的组合旋转变换矩阵是：

 

给定一个旋转顺序（例如这里的 zxy），以及它们对应的旋转角度

 

这里有两种坐标系可以选择：

1、

绕坐标系E 下的 z轴旋转 θz

绕坐标系E 下的 y轴旋转 θy

绕坐标系E 下的 x轴旋转 θx

即进行一次旋转的时候，不会一起旋转当前的坐标系（Unity的旋转顺序）

2、

绕坐标系E 下的z轴旋转 θz

在坐标系E 下绕z轴旋转 θz后的 新坐标系E1 下的y轴旋转 θy

在坐标系E1 下绕y轴旋转 θy后的 新坐标系E2 下的x轴旋转 θx

即 在旋转的死后，坐标系一起转动

 

在第一种情况下，按照 zxy顺序旋转 和 在第二种情况下按照 yxz顺序 旋转是一样的。

不同的旋转顺序得到的结果也可能是不一样的。