数学建模03 —— 灰色预测模型

简介

灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法。
当我们运用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测。
预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。

灰色系统理论简介

灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论。
目前常用的预测方法（如回归分析）需要较大的样本。
灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，是处理小样本预测问题的有效工具。
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统成为灰色系统，信息完全未确定的系统为黑色系统，信息完全确定的系统为白色系统。区别白色系统和黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。

灰色系统的特点

（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化
（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律
（3）灰色系统理论能处理贫信息系统

灰色生成

将原始数据列中的数据，按某种要求作数据处理称为生成。
常用的灰色系统生成方式：累加生成，累减生成，均值生成，极比生成等

累加生成

通过数列间各时刻数据的依个累加以得到心得数据与数列。累加前的数列称为原始数列，累加后的数列称为生成数列。
累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化

GM(1,1)模型
灰色系统是对离散序列建立的微分方程，GM(1,1)是一阶微分方程模型，形式为：

离散形式和预测公式：

整理后公式：

预测值：

GM(1,1)模型精度检验
通过检验的模型才能用来作预测，灰色模型的精度检验一般三种方法:相对误差大小检验法，关联度检验法和后验差检验法
后验差检验法：