范数

范数（norm），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。

范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算AX=BAX=B，可以将向量X变化为B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

常用的三种p-范数推导出的矩阵范数：

1-范数：

║A║₁ = max{ ∑|a_i1|，∑|a_i2|，……，∑|a_in| } （列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值）（其中∑|a_i1|第一列元素绝对值的和∑|a_i1|=|a₁₁|+|a₂₁|+...+|a_n1|，其余类似）；

2-范数：

║A║₂ = A的最大奇异值 = (max{ λ_i(A^H*A)}) ^1/2 （谱范数，即A^H*A特征值λ_i中最大者λ₁的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵）；

∞-范数：

║A║_∞ = max{ ∑|a_1j|，∑|a_2j|,...，∑|a_mj| } （行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值）（其中∑|a_1j| 为第一行元素绝对值的和，其余类似）；

其它的p-范数则没有很简单的表达式。

对于p-范数而言，可以证明║A║_p=║A^H║_q，其中p和q是共轭指标。

简单的情形可以直接验证：║A║₁=║A^H║_∞，║A║₂=║A^H║₂，一般情形则需要利用║A║_p=max{y^H*A*x：║x║_p=║y║_q=1}。

在实际的训练中对应的参数空间（最后用于结构风险最小化的时候，对应的x是一个列向量，即用到的是向量范数）

即有下面的形式：

L-P范数 
与闵可夫斯基距离的定义一样，L-P范数不是一个范数，而是一组范数，其定义如下： 

根据P 的变化，范数也有着不同的变化，一个经典的有关P范数的变化图如下： 
上图表示了p从无穷到0变化时，三维空间中到原点的距离（范数）为1的点构成的图形的变化情况。以常见的L-2范数（p=2）为例，此时的范数也即欧氏距离，空间中到原点的欧氏距离为1的点构成了一个球面。

实际上，在0≤p<1≤p<1时，Lp并不满足三角不等式的性质，也就不是严格意义下的范数。因此这里的L-P范数只是一个概念上的宽泛说法。

L0范数 

当P=0时，也就是L0范数，由上面可知，L0范数并不是一个真正的范数，它主要被用来度量向量中非零元素的个数。用上面的L-P定义可以得到的L-0的定义为： 

在通常情况下，大家都用的是： ||x||=权向量中非零参数的个数

对于L0范数，其优化问题为： 

在实际应用中，由于L0范数本身不容易有一个好的数学表示形式，给出上面问题的形式化表示是一个很难的问题，故被人认为是一个NP难问题。所以在实际情况中，L0的最优问题会被放宽到L1或L2下的最优化。

L1范数 
L1范数是我们经常见到的一种范数，它的定义如下： 

表示向量x中非零元素的绝对值之和。

L1范数有很多的名字，例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。

对于L1范数，它的优化问题如下：

（注：Ax=b中，A是包含所有训练数据的矩阵。 x是正在寻找的解决方案向量。 b是标签矢量；由于x存在很多解，但由于L1范数的特点是表示非零向量的绝对值之和，故偏重于将向量中无关紧要的元素变成零，从而得到的是稀疏解）
由于L1范数的天然性质，对L1优化的解是一个稀疏解，因此L1范数也被叫做稀疏规则算子。

通过L1可以实现特征的稀疏，去掉一些没有信息的特征，例如在对用户的电影爱好做分类的时候，用户有100个特征，可能只有十几个特征是对分类有用的，大部分特征如身高体重等可能都是无用的，利用L1范数就可以过滤掉。

L2范数 
L2范数是我们最常见最常用的范数了，我们用的最多的度量距离欧氏距离就是一种L2范数，它的定义如下： 

表示向量元素的平方和再开平方。 

对于L2范数，它的优化问题如下： 

L2范数通常会被用来做优化目标函数的正则化项，防止模型为了迎合训练集而过于复杂造成过拟合的情况，从而提高模型的泛化能力。

L-∞范数

当P=∞时，也就是L-∞范数，它主要被用来度量向量元素的最大值。用上面的L-P定义可以得到的L∞的定义为： 

与L0一样，在通常情况下，大家都用的是： ||x||∞=max(|xi|)来表示L∞