保研复习——线性代数4:向量空间
向量空间
1.n维向量(本质:有序数组)
n维列向量:n×1矩阵(默认n维向量一般指列向量)
n维行向量:1×n矩阵
含有限个向量的有序向量组与矩阵是一一对应的
2.向量组的线性相关性
- 向量组的线性组合
(懒得码字了,以下图片来源于网络和部门内学弟学妹们自己整理的学习资料。)
- 向量组的线性相关性
注意性质3与性质1的区别,\(T_{1}\)并非\(T_{2}\)的部分组。
- 线性相关、无关与线性表示的关系
注意:定理4.4中唯一性的证明(证明唯一性通常假设不唯一,再证明相等)
3.向量组的秩
- 等价向量组(反身性、对称性、传递性)
设有两个向量组\(T_{1}: \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{m}; T_{2}: \beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{m}\),若向量组\(T_{1}\)中的每一个向量都可由向量组\(T_{2}\)线性表示,则称向量组\(T_{1}\)可由向量组\(T_{2}\)线性表示。又若向量组\(T_{1}\)和向量组\(T_{2}\)可以相互线性表示,则称向量组\(T_{1}\)和向量组\(T_{2}\)等价。
定理4.6证明要点:矩阵A经初等行变换化成B⇔ B=PA,P为可逆矩阵
讨论:若A=BC,则A的列向量组可由B的列向量组线性表示,表示式的系数矩阵为C;A的行向量组可由C的行向量组线性表示,表示式的系数矩阵为\(B^{T}\) 。
- 向量组的极大线性无关组及秩
4.n维向量空间
- 向量空间的概念
- 向量空间的基与维数
含义:向量空间V是其基所生成的向量空间,若把向量空间V看做向量组,向量空间V的基就是向量组V的极大线性无关组,向量空间V的维数就是向量组V的秩。
- 基变换与坐标变换
5.向量的内积与正交矩阵
施密特正交化方法:把一个线性无关向量组改造成一个与其等价的正交向量组(详见P118,转换公式及几何意义都要掌握)
6.线性方程组解的结构
- 齐次线性方程组解的结构
- 非齐次线性方程组
一些结论:
(1)若(A|b)经初等行变换,变换为(B|d),则线性方程组Ax=b与Bx=d同解
(2)Ax=0有非零解⟺ R(A)<n,n为未知量的个数⟺ A的列向量组线性相关
(3)Ax=b有解⟺ R(A)=R(\(\widetilde{A}\)). ⟺ b可由A的列向量组线性表示
(4)若R(A)=R(\(\widetilde{A}\))=r,则当r=n时,Ax=b有唯一解;当r<n时,Ax=b有无穷多个解
7.应用举例
情报检索模型、投入产出模型