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三次Hermite插值

分类: 文章 • 2024-05-10 14:21:52

设f(x)在节点a≤x0,x1,⋯,xn≤b处的函数值为f0,f1,...,fn，设P(x)为f(x)在区间[a,b]上的具有一阶导数的插值函数
（1）若要求P(x)在[a,b]上具有一阶导数（一阶光滑度）

P (x i) = f (x i) = f i P' (x i) = f' (x i) = f', i = 0, 1, . . ., n

P(x)可以是最高次数为2n+1次多项式，两个节点就可以用2×1+1=3次多项式作为插值函数。
（2）同样，若要求P(x)在[a,b]上具有m阶导数（m阶光滑度），即P(x)在节点x0,x1,...,xn处必须满足：

P (x i) = f (x i) = f i P' (x i) = f' (x i) = f' i \dots P (m) (x i) = f (m) (x i) = f (m) i, i = 0, 1, . . ., n

定义：称满足（1）或（2）式的插值问题为Hermite插值，称满足（1）或（2）式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项式,记为Hk(x),k为多项式次数。

三次Hermite插值

三次Hermite插值

三次Hermite插值余项

R 3 (x) = f (4) (ξ) 4! (x - x 0) 2 (x - x 1) 2, x 0 \leq ξ \leq x 1

当f(4)(x)在[x0,x1]上存在时，上述公式成立。

例题

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