一维前缀和，二维前缀和，差分

一维前缀和：

给你一串长度为n的数列a1,a2,a3......an,再给出m个询问，每次询问给出L，R两个数，要求给出区间[L,R]里的数的和

例题：

6 3

10 4 1 5 5 2

求出6个数中的3个数的和有哪些

如何用俩个循环那么复杂度就比较大，所以用到前缀和比较简单

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int s[1000];
int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	memset(s, 0, sizeof(s));
	for (int i = 1;i <= n;i++) {
		cin >> s[i];
		s[i] += s[i - 1];
	}
	for (int i = 0;i <= n - m;i++) {
		cout << s[i + m] - s[i] << endl;
	}
	
	return 0;
}

一维前缀和，二维前缀和，差分

一维差分：

给你一串长度为n的数列a1,a2,a3......an，要求对a[L]~a[R]进行m次操作：

操作一：将a[L]~a[R]内的元素都加上P

操作二：将a[L]~a[R]内的元素都减去P

最后再给出一个询问求a[L]-a[R]内的元素之和？

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[1000];
int b[1000];
int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	memset(a, 0, sizeof(a));
	for (int i = 1;i <= n;i++) {
		cin >> a[i];
	}

	while(m--){
        int t,R,L,p;
        cin>>t>>R>>L>>p;
        if(t==1){
            b[L]+=p;
            b[R+1]-=p;
        }
        else{
            b[L]-=p;
            b[R+1]+=p;
        }
	}
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
        flag+=b[i];
        a[i]+=a[i-1]+flag;
	}
	int x,y;
	cin>>x>>y;
	cout<<a[y]-a[x-1]<<endl;


	return 0;
}

一维前缀和，二维前缀和，差分

在操作t=1时b[R+1]要减去p,是因为操作t=1只需对[L,R]区间里的数加p，[R+1,n]这个区间里的数没必要加p，所以需要减掉p

二维前缀和：

给定一个n*m大小的矩阵a，有q次询问，每次询问给定x1,y1,x2,y2四个数，求以(x1,y1)为左上角坐标和(x2,y2)为右下角坐标的子矩阵的所有元素和。注意仍然包含左上角和右下角的元素。

一维前缀和，二维前缀和，差分

在求上图的阴影元素的和的时候，看图理解

ans=a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1]

在求前缀和的时候因为星被减去2次，所以要加上星一次

同理：

for(int i=1;i<=n;i++){
  for(int j=1;j<=m;j++)
	a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];
}

因为星被加俩次所以要减去一次

具体代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int a[100][100];
int b[100][100];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	memset(a,0,sizeof(a));
	for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>a[i][j];
            a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];
        }
	}
	int k;
	cin>>k;
	while(k--){
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        int ans=a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1];
        cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

一维前缀和，二维前缀和，差分

二维差分：

方法是和一维类似的，我们也是需要另开一个数组记录修改操作，最后求前缀和时统计修改操作，只是二维每一次操作需要记录4个位置，一维只需要记录2个位置。

for(int i=0;i<m;i++){//m是修改操作次数 
	int x1,y1,x2,y2,p;
	cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>p;
	b[x1][y1]+=p;b[x2+1][y2+1]+=p;
	b[x2+1][y1]-=p;b[x1][y2+1]-=p;
}

一维前缀和，二维前缀和，差分

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