递归执行以及递归在解决跳台阶、变态跳台阶中的运用

        所谓递归，就是程序中不断地调用自身最后解决问题的一种方式。每次递归都需要内存空间储存变量，因此递归需要注意其层次（递归条件），如果递归层数多到一定程度就会发生内存不足的情况，同时递归必须存在跳出条件否则将使整个程序陷入无限循环。

        通俗讲，递归就是把一个大的问题不断地缩小，直到能够在一定范围简单得到结果，然后再反向计算。可以将整个递归过程想象成一组俄罗斯套娃游戏。在这组套娃上，每一层套娃都写着“值为里面一层的2倍”，在这种情况下，单从外面根本无法求解，这时候就需要依次将套娃取出，得到里面一层的信息，一直重复。这时候前面提到的跳出条件就变得格外重要，如果没有这个跳出条件程序就会一直往下一层寻找，直到内存不足崩溃。跳出条件其实就是指最里面的一个套娃中必须有一个确定的数字。

按要求，最右边的小套娃必须是确定的值。例如n的求阶乘，这个问题中存在隐形的跳出条件--n==1时，1的阶乘等于1。在计算时f(n)=n*f(n-1);即如果我们知道n-1的阶乘，乘以n就得到n的阶乘....要想知道n=2阶乘则必须知道n==1的阶乘，n==1阶乘条件给出，反过来得出f(2),f(3)..........f(n-1),f(n);

        阶乘的每层都会压栈，可以想象算法的压栈过程，求f(n),程序首先将f(n)压栈，为了求f(n)则要先求f(n-1),此时f(n-1)压栈，如此循环，栈最上层为f(1)(跳出条件)，得到确定值（跳出条件）则弹出f(1)得到f(2),弹出f（2）得到f(3).......弹出f(n-1)得到f(n).

int recursive(int val)
{
    if (val == 1)//跳出条件
        return val;
    return val*recursive(val - 1);
}

int main()
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        int value = recursive(n);
        cout << "n!=" << value << endl;
    }
    return 0;
}

 

跳台阶问题：

一般跳台阶每次可以调一阶或者两阶，当有n阶时有多少种方案。

这个问题如果从第一阶开始考虑则很难得出结论，反向递归考虑则假设最后一跳刚好跳到第n阶，则最后一跳有两种情况：跳一阶和跳两阶，当跳一阶则之前刚好跳n-1阶，跳两阶则之前刚好跳n-2阶。f(n)=f(n-1)+f(n-2),得到了递归条件还需要跳出条件。该题中跳出条件有两个：第一次跳一次或者两次，f(1)=1,f(2)=2(两个一阶，一个两阶)

int recursive(int val)
{
    if (val <= 0)
        return 0;
    if (val == 1 || val == 2)
        return val;
    return recursive(val - 1) + recursive(val - 2);
}

int main()
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        int value = recursive(n);
        cout << "f(n)=" << value << endl;
    }
    return 0;
}

 

变态跳台阶

变态跳台阶即一次可以跳任意阶。f(n)=f(n-1)+f(n-2)+......+f(n-(n-1))+f(n-n),由数学公式可以简化f(n)=2*f(n-1)

int recursive(int val)
{
    if (val <= 0)
        return 0;
    if (val == 1)
        return 1;
    
    return 2*recursive(val-1);
}

int main()
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        int value = recursive(n);
        cout << "f(n)=" << value << endl;
    }
    return 0;
}