LeetCode解题笔记 16 —— 62. 不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

解法

• 1.递归查出所有路径

class Solution {
    private int num = 0;
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        num = 0;
        check(m,n,1,1);
        return num;
    }
    
    private void check(int m, int n,int i,int j){
        if(i==m && j==n){
            num++;
            return;
        }
        if(i+1 <= m){
            check(m,n,i+1,j);
        }
        if(j+1 <= n){
            check(m,n,i,j+1);
        }
    }
}

这种方法在m和n的值比较小的时候没有问题，但值比较大的时候会十分耗时，超出限制时间。

 

• 2.使用数学的概率组合

可以将题目理解成从（m-1）+ （n-1）次选择中选出 （m-1）次往下走，即C(m-1 , （m-1）+ （n-1）)；

C(m, n)的数学公式为：

所以可以写出以下方法

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        m--;
        n--;
        int total = m+n;
        if(m < n){
            int k = m;
            m = n;
            n = k;
        }
        Set<Integer> set = new HashSet();
        long num = 1;
        int count = 1;
        for(int i = n+1; i<=total; i++){
            num = num * i;
            while(num >=count && count<=m && num%count == 0){ //将能除的及时除掉，避免溢出
                num = num / count;
                count++;
            }
        }
        return (int)num;
    }
}