相机畸变校正原理初步理解

相机畸变校正

相机成像的过程实际就是将世界坐标系的点，转换到相机坐标系，投影得到图像坐标系，进而转化为像素坐标系的过程。而由于透镜精度和工艺会引入畸变(所谓畸变，就是指在世界坐标系中的直线转化到其他坐标系不在是直线)，从而导致失真，为了解决这个问题，从而引入了相机畸变校正模型。

为了了解畸变校正原理，我们首先要了解相机的成像模型。

相机成像模型

前面已经说过相机成像就是坐标系的转换过程。

世界坐标系$(X_{w}, Y_{w}, Z_{w})$(Xw​,Yw​,Zw​)， 单位为$m$m
相机坐标系$(X_{c}, Y_{c}, Z_{c})$(Xc​,Yc​,Zc​)， 单位为$m$m
图像坐标系$(X, Y)$(X,Y)， 单位为$m$m
像素坐标系$(U, V)$(U,V)， 单位为$像素$像素
1）世界坐标系—相机坐标系
该坐标系间转换即从一个三维坐标到另一个三维坐标系，可以通过旋转矩阵$R$R平移向量$t$t得到(为了方便，我们一般假设真实世界中$z_w=0$zw​=0)

2）相机坐标系–图像坐标系

相机坐标系到图像坐标系实际就是将一个三维坐标投影在一个二维平面上，其中这两个坐标系距离为$f$f（相机焦距），则

3）图像坐标系到像素坐标系
,
该图含义为，图像坐标系原点$O_{1}$O1​在相对于像素坐标系$O_{0}$O0​的$(u_{0}, v{0})$(u0​,v0)位置，则在图像坐标系中$(x, y)$(x,y)的点在像素坐标系为
$u = \frac{x}{dx}, v=\frac{y}{dy}$u=dxx​,v=dyy​, $dx, dy$dx,dy代表一个像素点相对于图像坐标系的大小，则:

最终成像模型即把所有的矩阵相乘：

则外参矩阵即为，随拍摄的图片而改变

内参矩阵为，只和相机有关

相机畸变

相机畸变发生在图像坐标系中，上面公式的推到都建立在理想图像坐标系中，而实际上会发生畸变，
径向畸变(泰勒级数前几项)
$x_{distorted} = x( 1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6) \\ y_{distorted} = y( 1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6)$xdistorted​=x(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)ydistorted​=y(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)
切向畸变
$x_{distorted} = x + [ 2p_1xy + p_2(r^2+2x^2)] \\ y_{distorted} = y + [ p_1(r^2+ 2y^2)+ 2p_2xy]$xdistorted​=x+[2p1​xy+p2​(r2+2x2)]ydistorted​=y+[p1​(r2+2y2)+2p2​xy]
从这里面可以看出，我们共有五个畸变参数要求，

因此对于N张无畸变的图像来说，共有4个内参+6N个外参来标定，每张棋盘图上有4个有效的角点，可以提供8个约束，则需要$8N>=4+6N$8N>=4+6N，则至少需要2张无畸变的图像可以求出相机的内参和外参，实际上一般可以取10张，从而利用最小二乘得到更精确的解。在求出了内参和外参后，即可根据剩余的点坐标求出畸变相关参数。

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