内容概述

本节首先从向量的代数关系出发，引入了向量组的线性无关、线性相关两个重要的概念；接着，以递进的方式，首先研究了一个或两个向量之间的关系，引入一些判断向量关系的方法，例如通过观察法来判定两个向量之间的关系，并从几何的角度去理解这种关系，接着研究了两个或多个向量彼此之间的关系，并引入了一些新的定理，用来判定向量集合的相关关系，例如从线性组合的角度、方程组的行列数量等等。本节的重点是要从代数的、几何的不同角度去理解和品味线性无关、线性相关这两个概念，为将来的学习打下基础。

线性无关

定义：

$\mathbb R^n$Rn中一组向量$\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}${v1​,⋯,vp​}称为线性无关的，若向量方程
$x_1\boldsymbol v_1 + x_2\boldsymbol v_2 + \cdots + x_p\boldsymbol v_p = \boldsymbol 0$x1​v1​+x2​v2​+⋯+xp​vp​=0
仅有平凡解。
向量组（集）$\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}${v1​,⋯,vp​}称为线性相关的，若存在不全为零的权$c_1,\cdots,c_p$c1​,⋯,cp​，使得
$c_1\boldsymbol v_1 + c_2\boldsymbol v_2 + \cdots + c_p\boldsymbol v_p = \boldsymbol 0$c1​v1​+c2​v2​+⋯+cp​vp​=0
并且这个方程称为向量$\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$v1​,⋯,vp​之间的线性相关关系，其中权不全为零。一组向量线性相关当且仅当它不是线性无关的。也可以说向量组$\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}${v1​,⋯,vp​}是线性相关组。

注意：

线性无关、线性相关的概念，本质上是在研究不同向量之间的关系，向量方程只是其中一种描述形式。

例：
设
$v_1 = \begin{bmatrix}1\\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$v1​=⎣⎡​123​⎦⎤​, $v_2 = \begin{bmatrix}4\\ 5 \\ 6\end{bmatrix}$v2​=⎣⎡​456​⎦⎤​, $v_3 = \begin{bmatrix}2\\ 1 \\ 0\end{bmatrix}$v3​=⎣⎡​210​⎦⎤​,
a. 确定向量组$\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2,\boldsymbol v_3\}${v1​,v2​,v3​}是否线性相关
b. 可能的话，求出$\boldsymbol v_1$v1​，$\boldsymbol v_2$v2​，$\boldsymbol v_3$v3​的一个线性相关关系
解：
a. 把相应的增广矩阵行变换为阶梯形矩阵：
$\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 & 0\\ 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$⎣⎡​100​4−30​2−30​000​⎦⎤​
显然，$x_1$x1​和$x_2$x2​为基本变量，$x_3$x3​为*变量，$x_3$x3​的每个非零值确定一组非平凡解，因此$\boldsymbol v_1$v1​，$\boldsymbol v_2$v2​，$\boldsymbol v_3$v3​线性相关。

b. 继续求解该方程组，得到：$x_1 = 2x_3$x1​=2x3​，$x_2= -x_3$x2​=−x3​，任意选取$x_3$x3​的一个非零值，比如$x_3=5$x3​=5，则$x_1=10$x1​=10，$x_2 = -5$x2​=−5，由此得到：
$10\boldsymbol v_1 - 5\boldsymbol v_2 + 5\boldsymbol v_3 = \boldsymbol 0$10v1​−5v2​+5v3​=0
这就是$\boldsymbol v_1$v1​，$\boldsymbol v_2$v2​，$\boldsymbol v_3$v3​的一个可能的线性相关关系。

矩阵各列的线性无关

由上述的向量组进而考虑矩阵$A = [\boldsymbol a_1 \cdots \boldsymbol a_n]$A=[a1​⋯an​]，矩阵方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$Ax=0可以写成：
$x_1\boldsymbol a_1 + x_2\boldsymbol a_2 + \cdots + x_n\boldsymbol a_n = \boldsymbol 0$x1​a1​+x2​a2​+⋯+xn​an​=0
$A$A的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$Ax=0的一个非平凡解。因此得到下述重要事实：

矩阵$A$A的各列线性无关，当且仅当方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$Ax=0仅有平凡解。

例：
确定矩阵$\begin{bmatrix}0 & 1 & 4\\ 1 & 2 & -1 \\ 5 & 8 & 0\end{bmatrix}$⎣⎡​015​128​4−10​⎦⎤​的各列是否线性无关。
解：
矩阵可行化简为：
$\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 13 & 0\end{bmatrix}$⎣⎡​100​210​−1413​000​⎦⎤​
此时方程有3个基本变量，没有*变量，因此方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$Ax=0仅有平凡解，$A$A的各列是线性无关的。

一个或两个向量的集合

仅含一个向量的集合（例如$\boldsymbol v$v）线性无关当且仅当$\boldsymbol v$v不是零向量。这是因为当$\boldsymbol v \neq \boldsymbol 0$v​=0时，向量方程$x_1 \boldsymbol v = \boldsymbol 0$x1​v=0仅有平凡解。零向量是线性相关的，因为$x_1 \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$x1​0=0有许多非平凡解。

下面通过例子说明两个向量线性相关的情况：
确定下列向量组是否线性无关：
a. $\boldsymbol v_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 1\end{bmatrix}$v1​=[31​], $\boldsymbol v_2 = \begin{bmatrix}6 \\ 2\end{bmatrix}$v2​=[62​]
b. $\boldsymbol v_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 2\end{bmatrix}$v1​=[32​], $\boldsymbol v_2 = \begin{bmatrix}6 \\ 2\end{bmatrix}$v2​=[62​]
解：
a. 由于$\boldsymbol v_2$v2​是$\boldsymbol v_1$v1​的倍数，即$\boldsymbol v_2 = \boldsymbol 2v_1$v2​=2v1​，因此$-2\boldsymbol v_1 + \boldsymbol v_2 =\boldsymbol 0$−2v1​+v2​=0，这一形式符合向量线性相关的定义，表明$\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2 \}${v1​,v2​}线性相关。
b. 假设$\boldsymbol v_1$v1​和$\boldsymbol v_2$v2​线性相关，那么根据线性相关的定义，必存在不全为0的标量$c$c，$d$d，使得：
$c\boldsymbol v_1 + d\boldsymbol v_2 = \boldsymbol 0$cv1​+dv2​=0
假设$c \neq 0$c​=0，那么根据上述等式可得：$\boldsymbol v_1 = (-\frac{d}{c})\boldsymbol v_2$v1​=(−cd​)v2​，但是另一方面，由于$\boldsymbol v_1$v1​并不是$\boldsymbol v_2$v2​的倍数，因此这是不可能的，所以$\{ \boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\}${v1​,v2​}是线性无关组。

从上述这个例子，可以发现，总可以用观察法来确定两个向量是否相关，而不需要进行行变换。通过看一个向量是否是另一个变量的倍数即可。

结论如下：

两个向量的集合$\{ \boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\}${v1​,v2​}线性相关，当且仅当其中一个向量是另一个向量的倍数。这个集合线性无关，当且仅当其中任一个向量都不是另一个向量的倍数。

从几何意义来看，两个向量线性相关，意味着它们落在通过原点的同一条直线上。

两个或更多个向量的集合

线性相关和线性组合的关系

定理：

两个或更多个向量的集合$S=\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$S={v1​,⋯,vp​}线性相关，当且仅当$S$S中至少有一个向量是其他向量的线性组合。
事实上，若$S$S线性相关，且$\boldsymbol v_1 \neq \boldsymbol 0$v1​​=0，则某个$\boldsymbol v_j(j > 1)$vj​(j>1)是它前面向量$\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_{j-1}$v1​,⋯,vj−1​的线性组合（做$\boldsymbol v_1 \neq 0$v1​​=0的假设，是为了研究向量集合里不全是零向量的情况，从下面的证明可以看出，这里要说明的是，如果一个向量集合$S$S是线性相关的且其中不全是零向量，那么总会存在至少一个向量$\boldsymbol v$v， 该向量是$S$S中某些向量的线性组合）。

注意：

上述定理没有说在线性相关集中每一个向量都是它前面的向量的线性组合。线性相关集中某个向量可能不是其他向量的线性组合（想象两个共线的向量和另一个不与它们共线的向量组成的向量集合；另一方面，由线性相关定义中的允许有一部分系数$c_i$ci​为$0$0也可以联想到这一点）。

证明：

若$S$S中某个$\boldsymbol v_j$vj​是其他向量的线性组合，那么把方程两边同时减去$\boldsymbol v_j$vj​就产生一个线性相关关系，其中$\boldsymbol v_j$vj​的权为$-1$−1，例如，假设令$j=1$j=1，且有$\boldsymbol v_1 = c_2\boldsymbol v_3 + c_3\boldsymbol v_3$v1​=c2​v3​+c3​v3​，那么两边同时减去$\boldsymbol v_1$v1​，得到如下的线性相关关系：
$\boldsymbol 0 = (-1)\boldsymbol v_1 +c_2\boldsymbol v_2 + c_3\boldsymbol c_3 + 0\boldsymbol v_4 + \cdots + 0\boldsymbol v_p$0=(−1)v1​+c2​v2​+c3​c3​+0v4​+⋯+0vp​
因此，$S$S线性相关。
反之，若$S$S线性相关。
若$\boldsymbol v_1$v1​不为零，那么根据线性相关的定义，存在$c_1, \cdots, c_p$c1​,⋯,cp​不全为零，使得：
$c_1\boldsymbol v_1 + c_2\boldsymbol v_2 + \cdots + c_p\boldsymbol v_p = \boldsymbol 0$c1​v1​+c2​v2​+⋯+cp​vp​=0
设$j$j是使得$c_j \neq 0$cj​​=0的最大下标。若$j = 1$j=1，则有$c_1\boldsymbol v_1 = \boldsymbol 0$c1​v1​=0，这是不可能的，因为$\boldsymbol v_1 \neq \boldsymbol 0$v1​​=0，故$j > 1$j>1，且有：
$c_1\boldsymbol v_1 + \cdots + c_j\boldsymbol v_j + 0\boldsymbol v_{j+1} + \cdots + 0\boldsymbol v_{p} = \boldsymbol 0$c1​v1​+⋯+cj​vj​+0vj+1​+⋯+0vp​=0
进一步计算得：
$\boldsymbol v_j = (-\frac{c_1}{c_j})\boldsymbol v_1 + \cdots + (-\frac{c_{j-1}}{c_j})\boldsymbol v_{j-1}$vj​=(−cj​c1​​)v1​+⋯+(−cj​cj−1​​)vj−1​
也就是说，此时$\boldsymbol v_j$vj​是它前面向量$\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_{j-1}$v1​,⋯,vj−1​的线性组合。

例：
设$\boldsymbol u = \begin{bmatrix}3 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}$u=⎣⎡​310​⎦⎤​,$\boldsymbol v = \begin{bmatrix}1 \\ 6 \\ 0\end{bmatrix}$v=⎣⎡​160​⎦⎤​，描述由$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v生成的集合，并说明向量$\boldsymbol w$w属于$Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$Span{u,v}当且仅当$\{\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\}${u,v,w}线性相关。
解：
向量$\boldsymbol w$w属于$Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$Span{u,v}，意思就是$\boldsymbol w$w是$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v的线性组合，根据上述定理，可知$\{\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\}${u,v,w}线性相关。
反之，若$\{\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\}${u,v,w}线性相关，则根据上述定理，$\{\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\}${u,v,w}中某一向量是它前面向量的线性组合，而这个向量一定是$\boldsymbol w$w，因为$\boldsymbol v$v不是$\boldsymbol u$u的倍数，所以$\boldsymbol v$v和$\boldsymbol u$u是线性无关的，因而$\boldsymbol w$w属于$Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$Span{u,v}。

包含零向量的向量结合

定理：

若$\mathbb R^n$Rn中向量组$S = \{ \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$S={v1​,⋯,vp​}包含零向量，则它线性相关。

证明：

把这些向量重新编号，设$\boldsymbol v_1 = \boldsymbol 0$v1​=0，于是方程$1\boldsymbol v_1 + 0\boldsymbol v_2 + \cdots + 0\boldsymbol v_p = \boldsymbol 0$1v1​+0v2​+⋯+0vp​=0，系数不全为零，因此$S$S线性相关。

向量个数和向量元素个数的关系

定理：

若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组线性相关。就是说，$\mathbb R^n$Rn中任意向量组$\{ \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}${v1​,⋯,vp​}当$p > n$p>n时线性相关。

证明：

设$A = [\boldsymbol v_1 \cdots \boldsymbol v_p]$A=[v1​⋯vp​]，则$A$A是$n \times p$n×p矩阵，方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$Ax=0对应于$p$p个未知量的$n$n个方程。若$p>n$p>n，则未知量比方程多，所以必定有*变量（$n$n个方程最多有$n$n个主元，对应于$n$n个基本变量，而未知数的个数$p>n$p>n，因此必有*变量）。因此$A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$Ax=0必有平凡解，所以$A$A的各列线性相关。
如下所示，$p=5$p=5，$n=3$n=3
$\begin{bmatrix}* & * & * & * & * \\* & * & * & * & * \\* & * & * & * & * \end{bmatrix}$⎣⎡​∗∗∗​∗∗∗​∗∗∗​∗∗∗​∗∗∗​⎦⎤​

例：
向量$\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix}$[21​]，$\begin{bmatrix}4 \\ -1\end{bmatrix}$[4−1​]，$\begin{bmatrix}-2 \\ 2\end{bmatrix}$[−22​]线性相关，这是因为每个向量仅有2个元素而向量组有3个向量。