高等数学期末总复习DAY15.三重积分

DAY15.

我喜欢小羊

三重积分

$\rho (x,y,z) 为密度函数$ρ(x,y,z)为密度函数

$M = \iiint_{\Omega} f(x,y,z) d_v$M=∭Ω​f(x,y,z)dv​

昨天的笔记里面讲的是二重积分，二重积分常常用来求区域的面积。今天的三重积分相对于二重积分要更进一步，用来求物体的质量

积分形式有三个不同的坐标系：

平面直角坐标系

而平面直角坐标里面又可以细分为两种方法

先一后二

即先积一条线，再积一个面

$I = \iint_{D_{xy}} d_xd_y \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)d_z$I=∬Dxy​​dx​dy​∫z1​(x,y)z2​(x,y)​f(x,y,z)dz​

具体为（取x形区域）

$I = \int_a^{b} d_x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} d_y \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)d_z$I=∫ab​dx​∫y1​(x)y2​(x)​dy​∫z1​(x,y)z2​(x,y)​f(x,y,z)dz​

先二后一

先积一个面再积一条线

$I = \int_c^{d} d_z \iint_{D_z} f(x,y,z)d_xd_y$I=∫cd​dz​∬Dz​​f(x,y,z)dx​dy​

使用直角坐标系的计算规范有：

1. Dz 的面积要好求解
2. $f(x,y,z)=g(z) 与 x , y无关$f(x,y,z)=g(z)与x,y无关

柱面坐标

它和直角坐标系的不同在于先采用先一后二，再转化为极坐标

$I = \iint_{D_{xy}} d_xd_y \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)d_z$I=∬Dxy​​dx​dy​∫z1​(x,y)z2​(x,y)​f(x,y,z)dz​

$= \int_{\alpha}^{\beta} d_{\theta} \int_{\varphi_1 \theta}^{\varphi_2 \theta} \rho d_{\rho} \int_{z_1(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta)}^{z_2(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta)} f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta,z)d_z$=∫αβ​dθ​∫φ1​θφ2​θ​ρdρ​∫z1​(ρcosθ,ρsinθ)z2​(ρcosθ,ρsinθ)​f(ρcosθ,ρsinθ,z)dz​

1.适用于投影区域与圆相关的区域

2.$f(x,y,z)与x^2+y^2$f(x,y,z)与x2+y2有关的时候

球面坐标

$\begin{cases} x = r \sin \varphi \cos \theta \\ y = r \sin \varphi \sin \theta \\ z = r\cos \varphi \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφ​

例题

计算$I = \iiint_{\Omega} \frac{d_xd_yd_z}{(1+x+y+z)^3}$I=∭Ω​(1+x+y+z)3dx​dy​dz​​ 其中 $\Omega 是x = 0 ,y = 0,z=0,x+y+z = 1$Ω是x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 围成的四面体

解：

画出积分区域如图：

则采用先一后二的方法：

$I = \int_0^1 d_x \int_0^{1-x} d_y \int_0^{1-x-y} \frac{1}{(1+x+y+z)^3} d_z$I=∫01​dx​∫01−x​dy​∫01−x−y​(1+x+y+z)31​dz​

计算过程略过