上海交通大学2017年复试题：FibonacciRepresentation

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今天看了看复试群里其他同学的解答，我的算法相对来说繁琐了很多。其实完全可以不用计较n=2的边界条件，也无需推导出之前所叙述的第二类数的规则。只需利用
$Fib(n+2)=\sum_{i=1}^{n}Fib(i)+2，(n>0)$
向下递归判断，便可轻松地写出代码。

第二次的代码：

int dfs2(int n,int lev){
    if (n==0) return 1;
    if (fib[lev+2]-2<n) return 0;
    int i;
    for (i=lev; fib[i]>n; i--);
    return dfs2(n, i-1)+dfs2(n-fib[i], i-1);
}

这种做法完全靠上述公式剪枝，无需手动判断需不需要减去第二个数，边界条件直接解决了这个问题。比自己第一次做的要简单很多，而且可读性也强得多。
最后时间效率对比，小数据两种方法差不多，大的数据（例如 $10^8、10^9$ ）的运行时间，后者是前一个方法的一半，省去了大量没必要的递归操作。
之前的算法主要误区就是编程的时候太注重分类讨论，因此数字比较小的时候，分类情况不好界定，于是把（n>2）当作边界条件。同时也是受此影响写公式的时候也出了点小问题，公式中 $\sum$ 的下标其实是1，因此范围是（n>0）而不是（n>2）。
自己的递归意识和编程能力还是有些薄弱，得出了数学公式，却写出了相比于别人又复杂又慢的算法。

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今天把交大考研复试题目全部刷完了，整体难度比pat要高一个档次。
交大复试难题往往考的不是编程，而是蕴含在代码中数学和算法思想。

有一道题是披着最短路径外皮的最小生成树。给出路径，每走一步的代价为2的k次方，给出的数据还特别大。落入陷阱的人会思考如何用高精度表示路径和，我就是其中一员。不得正解后看别人的解才知道，做这道题实际上要经过简单的数学推导，经过等比数列求和或者是二进制求和，可以得到前n步的和永远小于第n+1步，于是后面出现的重复路径可以忽略不计。

今天做了这一道题
上海交通大学2017年复试题：FibonacciRepresentation
      这一道题是2017年上海交大考研复试的最后一题。乍一看并不难，用动态规划或者DFS就能解决。但实际上给出了 $10^8$ 的变态数据，使用动态规划必然内存超限（ $4B*10^8≈400MB$ ），关键就在于DFS和剪枝的处理了。
      这道题的难点同样在于数学思想（我尚未知道是否有其他解法），在10^8的数据下，DFS特别容易超过时间限制，关键在于找规律。
       有了前一道题的经验，我试着把这些fibonacci数前n项加起来，发现前n项和始终等于第n+2项-2。知道了这个规律，编程就好办多了。

这道题的难点在于这个规则，
$Fib(n+2)=\sum_{i=1}^{n}Fib(i)+2，(n>2)$
$（观察得到的，数学归纳法可以很轻松证明）$
每当一个数的范围在 $N\in \left( Fib(n+2)-2 , Fib(n+2)) \right.] ,N>\sum_{i=1}^{n}Fib(i)恒成立$ 因此必然包含第n+1项fibonacci数Fib(n+1)。 $而\forall n>2 , Fib(n+1)<=Fib(n+2)-2$ 编程的过程需要将两项值相隔超过2，方便处理，可将n=2算作递归边界。

因此在DFS编写代码的过程中，由大往小，按照一定规则列举fibonacci数，可以将数分为两类，一类是
$N\in\left(Fib(n+2)-2 , Fib(n+2)) \right.]$
另一类是
$N\in \left(Fib(n+1) , Fib(n+2)-2) \right.]$

第一类数：减去必有的n+1项fibonacci数，递归统计即可。
第二类数：可以被前n项表示出来，因此需要切成两部分递归统计，
第一部分减去n+1项fibonacci数;
第二部分需要减去第n项的fibonacci数再向前n项递归统计。

第二类数第二部分的原理推导：
$N>Fib(n+1)>\sum_{i=1}^{n-1}Fib(i)$ N必然大于后n-1项和，不能以Fib(n-1)作为开头。
$Fib(n+1)>Fib(n)$ $(如果不减n+1项的话，就只有减第n项数再递归了，否则得不到正确的结果)$

因此，设置好递归出口，就可以按照上述规则进行递归运算了。

仔细思索了一下，这种做法应该尽最大可能剪枝了。剩下能强化其时间效率的做法，大概只能使用我尚未了解的空间换时间算法来解决了。
具体的实现代码如下。

#include <iostream>
#include <ctime>
int fib[80];
using namespace std;
int cnt=0;
void fb(int n){ //预处理
    fib[0]=1; // 第0项和第1项是相同的，DFS处理的时候小心。
    fib[1]=1;
    int i=2;
    while (fib[i-1]<n) {
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
        i++;
    }
}

void dfs(int n,int lev){   //设置层数限制，从大往小一一列举，防止后层的无效元素，取到前层的fib数，令cnt增加发生错误。
    if(n<=0) return;
    int i=1;
    for (;fib[i]<n&&i<lev; i++);
    if (i<lev&&fib[i]==n) {
        cnt++;
    }
    if(i>lev||n==2) return; //将n为2化为边界条件。当n为2时，递归会把循环引导进fib[0],fib[1]的情况，计算出一个错误值。
    if(fib[i]-n>=2)
        dfs(n-fib[i-2],i-2);
    dfs(n-fib[i-1],i-1);
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    clock_t start,end;
    start=clock();
    fb((int)1e9);
    int n;
    while(cin>>n){
        cnt=0;
    dfs(n,50); //提前了解一下范围内的fibonacci数有多少，随便填写一个范围内的fibonacci系数。
        printf("%d\n",cnt);
    }
    end=clock();
    printf("The running time is %lf s.\n ------ %.2lf ms.\n",double(end-start) /1000,double(end-start));
    return 0;
}

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渣机测试，输入数据，从 $10^{0}$ 到 $10^{8}$ 一一枚举，超过其要求的 $10^8$ 的数据大小的时间
上海交通大学2017年复试题：FibonacciRepresentation
最终得到的结果

即使是 $10^9$ 的数据，单点测试的条件下也能够通过。

用语言表达出数学思想，可能相对比较晦涩难懂。还是亲手计算、写写代码，才能更深刻地理解算法。
当然。。这道题如果真的到考场上，大概想不出这样的思路，暴力DFS能混多少分是多少分。

上海交通大学2017年复试题：FibonacciRepresentation

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