1 Jensen 不等式
基本不等式f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)
扩展到多项也成立。
f(θ1x1+⋯+θkxk)≤θ1f(x1)+⋯+θkf(xk),θ1+⋯+θk=1
一般形式：
事件x∈domf发生的概率为1，函数f是凸函数，当相应的期望存在时，有f(Ex)≤Ef(x)
2 保凸运算
注意，这里的保凸运算指凸函数的保凸运算，并不指凸集的保凸运算，要和上一章分开。
（1）非负加权求和
当wi≥0,fi是凸函数时,f=w1f1+⋯+wmfm是凸函数。
当fi严格凸时，f严格凸。
此性质可以扩展到积分。
如果固定y∈A，函数f(x,y)是关于x的凸函数。且对任意y∈A有w(y)≥0，则函数g(x)=∫Aw(y)f(x,y) dy是关于x的凸函数。
（2）复合仿射映射
假设函数 f:Rn→R,A∈Rn×m，以及b∈Rn，定义g:Rm→R为
g(x)=f(Ax+b)
其中domg={x∣Ax+b∈domf}
这样的话，f与g的凹凸性一致。
（3）函数每点取最大
若f1,f2都是凸函数，则
f(x)=max{f1(x),f2(x)}是凸函数。
这个性质还可以扩展到多个函数。
若f1,⋯,fn都是凸函数，则
f(x)=max{f1(x),⋯,fn(x)}是凸函数。
举例：
最大r个分量和是凸函数。对于任意x∈Rn,用x[i]表示x中第i大的分量。则f(x)=∑i=1rx[i]是凸函数。
原因是f(x)还可以表示为:
f(x)=max{xi1+⋯+xir∣1≤i1<i2<⋯<ir≤n}
即从x的分量中选取r个不同分量进行求和所有组合的最大值。函数可以看成n!/(r!(n−r)!)个线性函数取每点取最大，所以是凸函数。
逐点最大的性质可以扩展到无限个凸函数取上确界。
对于任意y∈A，函数f(x,y)关于x都是凸的，则函数g
g(x)=supy∈Af(x,y)也是凸的，此时函数的定义域为
dom g={x∣(x,y)∈dom f ∀y∈A,g(x)<∞}
（4）标量的复合：
标量的复合在直观上结论十分好理解。
对于f(x)=h(g(x))
f′′(x)=h′′(g(x))g′(x)2+h′(g(x))g′′(x)
这里，我们先假设这里写出来的导数都是存在的。
因为可以认为凸函数二阶导大于零，所以h凸g凸并且h非减,则f是凸函数。（剩下几条自己推吧，相信高中生知道导数定义都明白的）
如果函数不可导怎么办？这些直观的结论都依然成立，只是这时结论里的h要变成h~ 。
举几个例子：
如果g是凸函数则exp(g(x))也是凸函数 。
如果g是凹函数且大于零则1/g(x)是凸函数 。
（5）矢量的复合：
对于f(x)=h(g1(x),⋯,gk(x))
其中，h,g都是矢量函数（即定义域在多维上，值域是一维）
f′′(x)=g′(x)T▽2h(g(x))g′(x)+▽h(g(x))Tg′′(x)
此时，我们得到和上面标量复合类似的结论。同样，h不可导时，结论中h要变成h~ 。
矢量复合要注意的是，矢量复合可以组合多种情况的结论。比如下面结论同样是对的：
若h是凸函数且在h的非减分量上gi是凸函数，在h的非增分量上gi是凹函数，那么f是凸函数。
h(z)=log(∑i=1kezi)是凸函数且在每一维分量上非减，只要gi是凸函数，那么h(gi)就是凸函数。
（6）最小化
如果函数f是关于(x,y)是凸函数，集合C是非空凸集，定义函数：
g(x)=infy∈Cf(x,y)
是凸函数。
举一个例子，定义点x到某一集合S的距离定义为：
dist(x,S)=infy∈S∥x−y∥
若S是凸集，那么距离函数dist(x,S)是凸函数。
（7）透视函数
定义函数：
g(x,t)=tf(x/t)
定义域为：
dom g={(x,t)∣x/t∈domf,t>0}
透视函数是保凸运算。
（一定注意要求t>0）
3 共轭函数
设函数f:Rn→R，定义函数f∗:Rn→R为
f∗(y)=supx∈dom f(yTx−f(x))
此函数称为f的共轭函数。
（图片来自斯坦福Boyd Convex Optimization）
旋转直线xy，y是斜率，得到的直线与f(x)在整个定义域上的最大差值就是f∗(y)。不出意外的话（如果f(x)可微），在满足f′(x)=y的点x处差值最大。
考虑一个简单的例子。
求f(x)=−log x的共轭函数。
对于函数xy+log x
当y≥0时，此函数没有上界。
当y<0时，此函数在x=−1/y时取最大值。代入得：
f∗(y)=−log (−y)−1
4 拟凸函数
如果函数定义域内的所有下水平集都是凸集，则函数为拟凸函数。这个定义在理解了下水平集之后还是很好理解的。
拟凸函数在一些性质上很像凸函数一些性质的变形。
f(θx+(1−θ)y)≤max{f(x),f(y)}
这个性质称为拟凸函数的Jensen不等式。
拟凸函数也有相应的一阶条件。
拟凸函数的一阶条件：
f(y)≤f(x)⇒∇f(x)T(y−x)
这是对应的描述拟凸函数的不等式。
5 对数凸函数
函数为对数凹，对所有的x∈domf有f(x)>0且logf是凹函数。
我们也可以用类似定义凸函数的方法定义对数凹函数。
如果函数定义域是凸集，且在定义域上为正，
对x,y∈domf ,0≤θ≤1有f(θx+(1−θ)y))≥f(x)θf(y)(1−θ)，则称f(x)是对数凹函数。
关于对数凸函数，有几个性质比较重要。
1对数凸函数是凸函数，非负凹函数是对数凹函数。
2 对于对数凹函数，f(x)∇2f(x)⪯∇f(x)∇f(x)T
3 对数凸函数的和仍然是对数凸函数。
4 积分：积分可以理解成无数个函数的和。
所以有以下结论。
对于任意y∈C，f(x,y)是x的对数凸函数，则函数
g(x)=∫C f(x,y)dy是对数凸函数。这个用上面的求和的性质很好理解。
对数凹函数的积分也有积分性质。
如果函数f:Rn×Rm→R是对数凸函数，则
g(x)=∫f(x,y)dy
则此函数在Rn上是x的对数凹函数。此条件和上面那个不一样，注意区分，此条件要求更严。
