用于电路分析的电弧模型

摘要

本文提出了描述电路中电弧行为的数学模型。 该模型与经典Mayr型模型进行了比较。 讨论了三种常见电弧放电情况的仿真和实际电弧放电情况。 结果表明，与Mayr型模型相比，该模型具有良好的性能。

一、介绍

1943年，奥托·迈尔（Otto Mayr）引入了他著名的电弧模型来模拟继电器中的电弧[1]。 已经对该模型进行了许多改进[2] [3]。 我们可以在文献中找到大量使用此模型来模拟电路中电弧的论文，例如电弧故障，继电器中的电弧，熔炉中的电弧。 Mayr模型的目的是独立于电弧的形状和环境（电极或接触材料，温度，压力，气体成分……）来表征耐电弧性能。 Mayr弧方程可提供足够的定性结果，但很难与实际实验数据拟合。 我们可以找到专门针对这个特定问题的论文[3]。 正如我们将在下面看到的那样，Mayr模型的近似值会引入模拟结果和实验结果之间的差异。
Mayr模型是定义耐电弧性的首次尝试之一。因此，它被视为起点。我们可以在文献中发现Mayr模型的改进通常会导致模型参数的增加，并且还会导致附加的非物理方程式以使其正常工作。要恢复，这些改进导致了模拟电弧电阻的复杂的非物理黑匣子。如果拟合成功，将获得良好的结果[4]。我们尝试在先前的工作中找到对Mayr模型的一些修正，或多或少都取得了成功[5]。
显然，仅用电弧电流和/或电压的函数来定义电弧电阻将不可避免地逼近。由于省略了一些变量（压力，温度，电弧长度，电极的几何形状，触点磨损和氧化，气体分子），因此仅通过考虑电流和电压来尝试找到物理和可靠的电弧模型几乎是不可能的，风，电弧方向，电场，磁场…）。然后，我们建议电路的简单数学模型可能比实际复杂的非物理模型和难于安装的黑匣子更可靠。这就是为什么我们开发了一个新颖而简单的
数学模型[6]。
为了证明开发的模型比常用的Mayr型模型更准确，我们将三种电弧情况的仿真与实际实验进行了比较：继电器的触点断开，电线上的电弧故障以及电极之间的高压电弧。
本文的组织如下：首先，我们将通过介绍静态弧方程，Mayr模型和建议的模型来讨论必要的背景。 其次，我们介绍为获得真实数据而实现的实验。 第三，我们定义比较标准并提出比较结果。 最后，我们总结并描述一些进一步的工作。

电路中的电弧模型

A、简化电弧模型

考虑图1的R电路模型，电路电压方程为：

我们要模拟在开关打开时发生的正常电弧。 为此，我们使用第一个电弧模型，该模型包含一个简单的电动势V0（图1）。 在开关断开时，电弧电压V0出现在开关的两个触点之间。 然后，在断开期间，触点之间的距离x增大，电弧电压V0也增大。


由于假定弧长等于触点之间的距离，因此V0通过弧长x的线性函数近似得出：

由于Varc=V0，可以通过方程（1）求得电流为

通过替换（3）中的（2），我们推导出电弧电流并将其绘制为时间的函数（图2）。 电路参数为：R = 1和VDC = 40V。 开关在t = 0.0025s时断开。 在图2（a）中，电压V0从12V变化到40V。 当开关完全打开时，V0达到40V，而Iarc变为零：电弧熄灭。 在图2（b）中，电压V0在12V至30V之间变化，开关也完全断开。 但是电弧不会熄灭，因为电弧电压低于发电机电压。 图2表明，这种简单的电弧模型可以轻松估算触点断开期间的电流和电压波形。

B、静态电弧特性

静态电弧特性描述了电弧稳定时电弧电压随电弧电流变化的行为。 当电弧电压和电弧电流不随时间变化时，电弧被认为是稳定的。 为此，电弧长度必须在时间上恒定，压力，温度也应保持恒定。
为了测量静态电弧特性，我们使用图1的电阻电路。对于一组精心选择的发电机电压和电阻，即使开关完全断开，电弧也不会停止（图2）。 如果开关完全断开，则电弧长度是恒定的。 在实验室条件下，压力和温度也是恒定的。 在这些条件下，电弧被认为是稳定的。 由于电弧稳定，因此我们可以在例如时间t = 0处测量相应的电弧电流和电压。 图2（b）中的01s。 我们对产生稳定电弧的所有可能的VDC和R重复上述过程。 图3是所有测得的电弧电流和电压的曲线图。

我们可以在图3中看到，除低电压明显增加的低电流外，静电弧特性与恒定电动势V0相同。 然后，通过以下等式对正电流和负电流建模此静态特性：

Varc是电弧电压，Iarc是电弧电流。 参数P0具有功率的大小，±V0是电动势（符号取决于电流符号）。 根据电极材料，参数n介于值1和2之间。
为了将图1的电路求解为正电流，我们使用由（1）和（4）组成的系统方程。 如果参数n = 1，则解决方案如下：

注：从（5）可以看出，如果功率P0 = 0，则（5）减小为（3）。
根据（5）中平方根下的符号，对于Iarc，我们可以有一个或两个解，也可以没有。 因此，确保启动电弧的条件是：

备注：从（6）可以看出，如果功率P0 = 0，则VDC> V0。 在图2的示例中，这就是灭弧的条件。方程式（6）是更好的灭弧条件的近似值，尤其是对于小电流而言。

C、电弧极化

如果我们重写（1）式来表示Varc，它为我们提供了电路允许的所有可能的电弧电压：

公式（7）称为负载线公式，其中–R是斜率。 在图4中，绘制了三种电压VDC的负载线。 正如我们在图4中看到的那样，负载线可以在一个或两个点上穿越静态特性。 交叉点是（5）的解，被称为极化点。 当有两个可能的交叉点时，对应于最大电流的那个交叉点是静态电弧的正确解决方案。 如果负载线低于静态特性曲线（在这种情况下，就不会产生电弧），它也可能没有交叉点。

D、Mayr模型

Mayr模型是尝试仅通过电弧电压和电流来定义电弧电阻Rarc的尝试。 Mayr还通过引入电弧时间常数将电弧电阻描述为时间变量。 根据0’Mayr的电导garc = 1 / Rarc由下式给出：

tau 是电弧时间常数，P0是电弧向环境耗散的冷却功率。 Mayr模型具有近似值，最明显的一个可以解释为：如果弧线是稳定的，则（8）应该减小为（4）。
当电弧稳定时，电弧电导不再变化。 因此，（8）的左项等于零。 在这种情况下，（8）的右项也必须等于零，然后：

公式（9）是Mayr的静态弧方程。 它与预期的差异很大（4）。 结果，不可能正确地适应真实的静态特性。 因此，不可避免地，使用Mayr模型将得出近似值。
提出了Mayr模型的改进[7]。表1给出了所有这些改进的模型。还给出了相关的静态特性。通过将表1的静态方程式与实际的静态特性（例如图4的静态特性）进行比较，我们看到只有Shavemaker模型才能得出正确的静态特性。
表1的模型方程式没有解析解（一个方程式，两个未知数）。只能进行数值模拟。此外，对于特定的电弧，没有唯一的一组参数P0和tau。实际上，存在许多参数集以使模型适合电弧试验（即，物理上不可能）。因此，Mayr型模型很难与实际实验相适应。
为了模拟表1的所有模型，我们使用Shavemaker在[8]中提出的方法。为了拟合模型参数，我们使用[4]提出的方法。我们通知Mayr型模型模拟灭弧，但不模拟电弧点火。为了模拟点火，我们需要一个触发信号来连接和断开电路中的模型。模拟开关中的触点断开时，我们总是知道开关何时断开。但是为了适应实际情况，需要对实验数据进行分析（在数据中找到点火时刻，以配置模拟的触发信号）。同样，当电弧停止时，需要断开模型以防止错误的重新点火。在交流仿真中，只有Shavemaker模型考虑负电流。另一方面，电弧只能模拟正电流（例如在正半周期内）。

E、数学模型

我们在先前的工作[6]中提出了一个数学模型，该模型可以通过考虑整体放电（VT，IT）而不是仅考虑电弧放电（Varc，Iarc）更好地定义电弧静态特性。 实际上，在引弧之前，它存在辉光放电或熔化的电桥。 考虑到这些现象[6]，总静电放电由下式给出：

α和β与（4）中的P0和n起相同的作用。 与Mayrtype模型相反，方程式（10）非常容易与实际数据[6]拟合。 图5是（10）的拟合例。 对于非常低的电流，静态方程的行为类似于电阻。 还为负电流定义了静态方程式，表1的所有Mayr-Type模型并非如此。


对于简单的静态特性，如果我们编写电路的负载方程，然后针对不同的VDC值绘制它，则它会在一个，两个或三个点上与静态特性交叉。 与简单的静态特性相反（图4），它总是存在至少一个交叉点作为解（图6）。 解决电流时，我们必须选择一种可能的交叉点作为解决方案。 这是通过应用最少的努力原理完成的：开始时，放电在交叉点（VT0，IT0）极化。 当负载线变化时，新的极化点为（VT1，IT1）。 （VT1，IT1）有一个，两个或三个可能的点。 对于每个点，我们计算功率变化P：

右边的交叉点是对应于最小功率变化P的那个。
将（11）与建议的静态方程（10）一起使用的主要优点是，考虑了引弧和熄灭。 当负载线超过静态特性的最大电压值或负载线与静态特性相切时会发生这种情况[6]。 因此，与Mayr型模型一样，无需知道弧线何时开始。 电弧只是像它必须做的那样开始或停止。
电弧的动态行为由以下方程式定义：

tau是电弧时间常数。 等式（12）表示实际电弧电流Iarc和电压Varc与静态极化点（VT，IT）的函数关系。 如果将（10）称为VT = F（IT），则通过使用（10）和（12），我们可以在电路中写出一般的电弧方程：

可以使用Matlab脚本文件来完成模型的仿真。 在每个发电机电压样本VDC（k）处，我们通过使用电路电压方程（例如 （1）和动力学方程式（13）。 它给出了（Varc（k），Iarc（k））的一种，两种或三种可能的解决方案。 然后，通过计算选择正确的解决方案：

该数学模型是通用模型。 它是为带有AC或DC发电机的各种电路以及各种点火而开发的。

三、模型对比

为了将所有Mayr型模型与建议的模型进行比较，我们使用两个标准：误差的标准偏差和误差的幂。 针对电路中出现的三种常见电弧情况，测量了这两个标准：过电压点火，碳化路径点火和开路触点点火。

A、实验

实验是在电阻电路（如图1中的电阻电路）或RL电路（采用直流电压VDC或交流电压VAC）中进行的。
在过压点火中，电路断开并且电极或触点不动。 使用正弦电压发生器，并将高压脉冲（kV）添加到发生器电压中（这是使用GDARC发生器完成的）。

这种高电压会破坏两个电极之间的气体：引发电弧。 现在，电路被电弧关闭，电流流过电阻器。 表2列出了在正半周期（VAC = 900V，R =150Ω）中产生两个连续脉冲（20kV）时的电弧电流和电压。
在碳化路径点火中，电弧是在两根导线之间而不是在触点或电极之间产生的。 准备好电线，使它们之间存在电阻。 为此，将导线并排放置并局部碳化。 当发电机打开时，电流在碳化路径电阻中流动。 路径电阻达到足够高的温度，从而引发电弧。 表2列出了电弧电流和电弧电压（VAC = 230V，R =47Ω）。
表2中给出了RL串联电路（VDC = 36V，R = 0.11，L = 1mH）中第一段中讨论的触点断开电路的电弧电流和电压。

B、比较标准

为了比较不同的模型，我们针对上述三个实验对它们进行了仿真。 对于Mayr型模型，首先分析实验数据以找到电弧起弧瞬间（因为Mayr型模型不模拟电弧起弧）。 对于每个实验，我们计算了真实信号A（k）和模拟信号S（k）之间的差：

标准偏差（以V或A为单位）的计算公式为：

误差功率的计算公式为：

注释：如果是值为1的恒定信号，则使用（17）计算的功率等于1。

C、结果

表2给出了两个最佳模型的仿真波形：Shavemaker模型和建议的模型。通过直观地将它们与真实信号进行比较，我们发现建议的模型与实验非常吻合。
表3列出了适用于这三个实验的所有模型的误差偏差和误差功效。表3的每个单元分别给出了过电压点火，开路触点点火和碳化路径点火的结果。从表3中，我们观察到所有模型都比Mayr模型提供更好的结果。可以预期，因为其他Mayr型模型是Mayr模型的改进。我们还可以观察到Shavemaker模型提供了比其他Mayr类型模型更好的结果。最后，我们观察到建议的数学模型比所有其他模型提供更好的结果。
为了可视化模型的性能，我们还使用表3中的数据雷达图。图7仅显示Mayr，Shavemaker和所提供模型的表3列的雷达图。图中的三个轴代表三个实验：“ OV”斧是过电压实验，“ OC”斧是开路触点，“ CP”是碳化路径。表3中的所有数据均已归一化，因此Mayr模型的值更改为[1，1，1]。这样，Mayr模型的表示就是一个等边三角形（图7）。由于其他模型提供了更好的结果，因此它们对应的三角形在Mayr三角形内。通过这种表示，最好的模型是面积最小且最接近图形中心的模型。我们在图7中清楚地看到，与Shavemaker和Mayr模型相比，数学模型提供了更好的仿真结果。

总结

我们提出了一种新模型，该模型很容易适合实际案例。 它提供了一种解析解决方案，可以解决所有电路问题。 它模拟了电弧点火和灭弧。 我们将卷筒实验电弧测量值与模拟的三种常见电弧情况进行了比较。 我们还将卷盘实验电弧与当今使用的经典Mayr型模型进行了比较。 本文提出的结果表明，与Mayr型模型相比，所提出的模型可以更好地描述电路中的电弧行为。 进一步的工作包括使用其他较不常见的应用程序测试模型。