群

群的第一定义
非空封闭结合律 有一有逆
满足前三个叫做半群,

第二定义的推导


第二定义:

推导第一定义:推导过程
首先证明 a和a-1满足交换律,这样就可以证明 左单位就是右单位

群的分类

叫做阿贝尔群

性质: 单位元和逆元唯一性

阶数的定义 : 这个就要注意了,群的运算不确定,这个次方表示连续运算m次,
并且是最小的正整数
运算可能是加法噢
不同元的阶数可能不同(但是有规律)

有逆元代表满足消去律------那么有逆元是不是就没有零因子了
那么三者就是等价的咯(前提是有限群)


有限群的另一个定义就是消去律 和 有解是等价,有解不就要有逆了(无限群大部分元素没有逆)

群的同态==========这里只说同态,默认是满同态就行了

上面证明可以得到;

变换



重点来了: (复合运算) 注意这个集合说的是 所有变换 而不是所有一一变换

请注意集合是所有变换,单位元是 恒等变换


===========很显然一一映射就可以解决了
证明来了—已知满射,证明单射


变换群登场-----元素 A集合的一一映射




重点来了!!! 怎么看怎么像轮换
也就是同构的那个变换群是 A集合的所有一一变换的一部分!

置换群

这个就验证之前的说法 全体置换是对称群,那么上面同构的只是子群


表示方法
把第一行看成自变量 第二行就是因变量

循环置换

分解




循环群

也就是一个循环群肯定和一个加群同构


子群



合并一下条件 关键是找出单位元(很多证明都是利用单位元搞事情)

子群条件


生成子群

陪集

这个说明陪集的元素个数等于子群的元素个数
因为有逆,所以可以推导出来
拉格朗日定理

不变子群 商群

满足交换律的元素组成的群就是中心

不变子群的条件

=========
商集

同态定理