第三章——一元微分学应用

part Ⅰ——中值定理

序言：

1、极值点——$y=f(x)(x∈D)，x_0∈D$y=f(x)(x∈D)，x0​∈D

​ ① $if$if 存在 $δ>0$δ>0，当 $0<|x-x_0|<δ$0<∣x−x0​∣<δ 时，使得 $f(x)<f(x_0)$f(x)<f(x0​)，

​ 称 $x_0$x0​ 为 $f(x)$f(x) 的极大值点，$f(x_0)$f(x0​) 为 $f(x)$f(x) 的极小值点；

​ ② $if$if 存在 $δ>0$δ>0，当 $0<|x-x_0|<δ$0<∣x−x0​∣<δ 时，使得 $f(x)<f(x_0)$f(x)<f(x0​)，

​ 称 $x_0$x0​ 为 $f(x)$f(x) 的极大值点，$f(x_0)$f(x0​) 为 $f(x)$f(x) 的极小值点；

2、一个函数在一点的导数的情况只有4种可能

​ $f'(a)= \begin{cases}>0\\<0\\=0\\不存在\end{cases}$f′(a)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​>0<0=0不存在​

part Ⅱ——单调性与极值

一、单调性

（一）判断单调性的步骤

Th1.

二、极值

（一）找极值点与极值的步骤

Th2. 第一充分条件

Th2. 第二充分条件

三 、题型归纳：⭐️⭐️⭐️

题型一——极值点的判断

题型二——不等式证明

题型三——方程的解（又称函数零点）

part Ⅲ——几个小问题

一、凹凸性

（一）、定义

$y=f(x)\quad(x∈D)$y=f(x)(x∈D)

下面有两种情况：

1、$if$if 取 $\forall x_1,x_2\in D$∀x1​,x2​∈D 且 $x_1\neq x_2$x1​​=x2​，有 $f(\frac{x_1-x_2}{2})<\frac{f(x_1)-f(x_2)}{2}$f(2x1​−x2​​)<2f(x1​)−f(x2​)​，则称 $f(x)$f(x) 在 $D$D 上为凹

2、$if$if 取 $\forall x_1,x_2\in D$∀x1​,x2​∈D 且 $x_1\neq x_2$x1​​=x2​，有 $f(\frac{x_1-x_2}{2})>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{2}$f(2x1​−x2​​)>2f(x1​)−f(x2​)​，则称 $f(x)$f(x) 在 $D$D 上为凸

（二）、判别法

Th.
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ f(x)& \in C[a,…

（三）、判断步骤

1、找定义域 $x\in D$x∈D

2、找可以点 KaTeX parse error: \cr valid only within a tabular/array environment

3、步骤 “2” 中的点将 $D$D 划分成若干个小区间，判断各个小区间内 $f^{\prime\prime}$f′′ 的符号正负

Notes:

​ 如果 $x=x_0$x=x0​ 两侧的凹凸性不同，

则称 $(x,f(x_0))$(x,f(x0​)) 为拐点

二、渐近线

1、水平渐近线

$if\;\;\lim_{x \to \infty} f(x)=A$ifx→∞lim​f(x)=A

则称, $y=A$y=A 为一条水平渐近线

如： $y=arctanx$y=arctanx

2、铅直渐近线

$if\;\;\begin{cases} lim_{x \to a} f(x)=\infty\\或 \;lim_{x \to a^+}f(x)=\infty\\或\;lim_{x \to a^-}f(x)=\infty \end{cases}$if⎩⎪⎨⎪⎧​limx→a​f(x)=∞或limx→a+​f(x)=∞或limx→a−​f(x)=∞​

则称， $y=a$y=a 为一条铅直渐近线

如：$y=tanx$y=tanx，$x= \frac{\pi}{2}$x=2π​

铅直渐近线需要在间断点的位置找

3、斜渐近线

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ if\;\;\;&lim_…

则称，$y=ax+b$y=ax+b 为斜渐近线

三、弧微分

弧微分这里将在定积分应用部分加以讲解，将用元素法去讲解

第四章——不定积分

一、定义

（一）、原函数

存在 $f(x)、F(x)$f(x)、F(x) ，若 $F^{\prime}(x)=f(x)$F′(x)=f(x)，则称 $F(x)$F(x) 为$f(x)$f(x)的原函数

Notes：

​ ①、连续函数一定有原函数，反之不对

​ ②、若$f(x)$f(x)有原函数 $\implies$⟹ $\exist$∃ 无数个原函数，但是 $\forall$∀ 两个原函数之差是常数 $C$C

（二）、不定积分

​ 设 $F(x)$F(x) 为 $f(x)$f(x) 的原函数，则 $F(x)+C$F(x)+C 为 $f(x)$f(x) 的所有原函数，这所有原函数称为 $f(x)$f(x) 的不定积分，记 $\int{f(x)}dx=F(x)+C$∫f(x)dx=F(x)+C

！！！
一个函数 $f(x)$f(x) 的不定积分是指 $f(x)$f(x) 的所有原函数

二、不定积分的性质

1、 $\int{[f(x)\pm g(x)]dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

2、$\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)}dx$∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

三、不定积分的工具

（一）、基本工具

参讲义P75

1、常数

​ $\int{k}dx=kx+C$∫kdx=kx+C

2、幂函数

​ $\begin{cases}{\int{x^a}dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C \;\;\;\; (a\neq -1)}\\{\int{x^{-1}dx=\int{\frac{1}{x}}dx}=\ln{|x|}+C}\end{cases}${∫xadx=a+11​xa+1+C(a​=−1)∫x−1dx=∫x1​dx=ln∣x∣+C​

3、指数函数

​ $\begin{cases}{\int{a^xdx}=\frac{a^x}{\ln{a}}+C \;\;\;\;(a\neq e)}\\{\int{e^x}dx=e^x+C}\end{cases}${∫axdx=lnaax​+C(a​=e)∫exdx=ex+C​

注：无对数函数

4、三角函数

​ ① $\int{sinx}dx=-cosx+C$∫sinxdx=−cosx+C

​ ② $\int{cosx}dx=sinx+C$∫cosxdx=sinx+C

​ ③ $\int{tanx}dx=-ln{|cosx|}+C$∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C

​ ④ $\int{cotx}dx=ln{|sinx|}+C$∫cotxdx=ln∣sinx∣+C

​ ⑤ $\int{secx}dx=\ln{|secx+tanx|}+C$∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C

​ ⑥ $\int{cscx}dx=\ln{|cscx-cotx|}+C$∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C

​ ⑦ $\int{sec^{2}x}dx=tanx+C$∫sec2xdx=tanx+C

​ ⑧ $\int{csc^2{x}dx=-cotx+C}$∫csc2xdx=−cotx+C

​ ⑨ $\int{secxtanxdx=secx+C}$∫secxtanxdx=secx+C

​ ⑩ $\int{cscxcotx}dx=-cscx+C$∫cscxcotxdx=−cscx+C

5、平方和、平方差

​ ① $\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=}$∫1−x2​dx​=

​ ② $\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=$∫a2−x2​dx​=

​ ③ $\int{\frac{dx}{1-x^2}}=$∫1−x2dx​=

​ ④ $\int{\frac{dx}{a^2+x^2}}=$∫a2+x2dx​=

​ ⑤ $\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}=$∫x2+a2​dx​=

​ ⑥ $\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}}=$∫x2−a2​dx​=

​ ⑦ $\int{\frac{dx}{x^2-a^2}}=$∫x2−a2dx​=

​ ⑧ $\int{{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=$∫a2−x2​dx=

注意：②和⑥之间没有联系

（二）、积分法

1、换元积分法

（1）第一类换元积分法

（2）第二类换元积分法

第五章——定积分

第六章——二重积分

第七章——微分方程