AI笔记: 数学基础之角的概念和三角常用公式推导

关于角

1 ） 角的概念

• 在数学和物理中，弧度是角的度量单位。它是由国际单位制导出的单位
• 同一三角形中, 等边对等角, 等角对等边
• 直角三角形中, 30度角所对边等于斜边一半
• 直角三角形中, 斜边中线等于斜边一半
• 直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
• 等腰三角形中, 两腰相等
• 等腰直角三角形中, 两直角边相等

2 ） 任意角

• 正角、负角、零角、象限角的概念
• 与角a终边相同的角的集合: $\{ b | b = a + 2k\pi, k \in Z \}${b∣b=a+2kπ,k∈Z}

3 ） 弧度制

• 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
• 弧度与角度是可以换算的
  • 90°、180°、270°、360° …
  • $\frac{\pi}{2}、\pi、\frac{3\pi}{3}、2\pi$2π​、π、33π​、2π …
• $|a| = \frac{l}{r}$∣a∣=rl​
• 弧长公式 $l = \frac{n\pi R}{180} = |a|R$l=180nπR​=∣a∣R
• 扇形面积公式 $S = \frac{n\pi R^2}{360} = \frac{1}{2} lR$S=360nπR2​=21​lR

三角函数

任意角

• 设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么： $sin a = y, cosa = x, tan a = \frac{y}{x}$sina=y,cosa=x,tana=xy​
• 设点A(x,y)为角a终边上任意一点，设 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$r=x2+y2​ 那么: $sina = \frac{y}{r}, cosa = \frac{x}{r}, tana = \frac{y}{x} cota = \frac{x}{y}$sina=ry​,cosa=rx​,tana=xy​cota=yx​
• sina, cosa, tana 在四个象限的符号和三角函数线的画法

同角三角函数的基本关系式

• 平方关系：$sin^2 a + cos^2 a = 1$sin2a+cos2a=1
• 商数关系：$tana = \frac{sina}{cosa}$tana=cosasina​
• 倒数关系：$tana cota = 1$tanacota=1

正弦、余弦、正切函数的图像和性质

三角常用公式