前言

• 前文介绍了多元函数微分的实质，接下来介绍多元函数中的方向导数与梯度，以二元函数为例

方向导数

• 方向导数的实质：自变量沿着xoy平面上的某个方向变化时，f的变化率（一元函数微分）
  
• 曲面S沿着u = (a, b)方向在(x0, y0, z0)的方向导数，是 作一平面C，C垂直于平面xoy且经过方向向量u所在的直线。C与S的交线（曲线）在(x0, y0, z0)的导数（一元函数微分）
• 请注意，此处沿着u方向，向量u是xoy平面上的单位向量，用于指示自变量的变化方向，而不是三维空间中的向量。由于u是单位向量，故必然存在$\theta$θ，使得

$cos\theta = a, sin\theta = b$cosθ=a,sinθ=b

• 易知，$\theta$θ就是向量u和x轴的夹角
• 例如我们熟知的两个偏导数，分别是沿着x轴和y轴的方向导数，即上图中的平面C应当垂直于xoy平面，且经过x轴（y轴）
• 根据上一篇文章对一元函数微分的讨论可知，该方向导数应当是（一元函数微分）

$D_u f |_{(x0, y0, zo)} = lim_{h->0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h}\ \ (*)$Du​f∣(x0,y0,zo)​=limh−>0​hf(x0​+ha,y0​+hb)−f(x0​,y0​)​  (∗)

• 可以证明（见文末）

$D_u f |_{(x0, y0, zo)} = f_x(x_0, y_0)a + f_y(x_0, y_0)b$Du​f∣(x0,y0,zo)​=fx​(x0​,y0​)a+fy​(x0​,y0​)b
$= (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0)) · (a, b) = \nabla f(x_0, y_0) · u$=(fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​))⋅(a,b)=∇f(x0​,y0​)⋅u

• $\nabla f$∇f是梯度，将在下文介绍
• 这里有几个重要的前提条件，*式成立的前提条件是给定的方向向量u是单位向量。根据上文可以进行如下转换，假设$\theta$θ是沿着u方向的任意向量u’与x轴的夹角，则

$D_{u'} f |_{(x0, y0, zo)} = \nabla f(x_0, y_0) · (cos\theta, sin\theta)$Du′​f∣(x0,y0,zo)​=∇f(x0​,y0​)⋅(cosθ,sinθ)

• 需要注意的是，方向导数是数，因为点乘的结果是实数，但下文可以看到，梯度是个自变量域的向量

梯度

• 定义梯度为向量 $\nabla f = (f_x, f_y)$∇f=(fx​,fy​)
• 在(x0, y0, z0)的梯度的实质是使得z0变化最快（即方向导数的绝对值最大）的自变量的变化方向的方向向量（不一定是单位向量）。梯度用于表明沿着哪个自变量的变化方向函数值变化最快
• 易知，假设u是任一单位方向向量，$\theta'$θ′是向量$\nabla f = (f_x, f_y)$∇f=(fx​,fy​)与$u = (cos\theta, sin\theta)$u=(cosθ,sinθ)的夹角

$D_u f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) · (cos\theta, sin\theta) = |\nabla f(x_0, y_0) ||(cos\theta, sin\theta) |cos\theta'$Du​f(x0​,y0​)=∇f(x0​,y0​)⋅(cosθ,sinθ)=∣∇f(x0​,y0​)∣∣(cosθ,sinθ)∣cosθ′
$= |\nabla f(x_0, y_0)|cos\theta'$=∣∇f(x0​,y0​)∣cosθ′

• 显然，当且仅当两个向量同向时，即自变量的变化方向为梯度向量的方向，方向导数最大，f增长最快，增长率为梯度的模长；反向同理

方向导数公式的证明