数字图像处理《4、频率域滤波》

第四章：频率域滤波 1、  频率域滤波的数学基础，主要是傅里叶变换，包括一维傅立叶变换、二维傅立叶变换、离散傅立叶变换，还有卷积定理等； 2、  简单来讲，就是通过傅立叶变换将图像的空间域变换为频域，在频域里进行滤波操作，再通过反变换得到处理后的图像空间域； 3、  频域滤波有模糊图像或者说平滑图像用的低通滤波器，锐化图像用的高通滤波器，此外还有带通滤波、带阻滤波、陷波滤波等选择性滤波器；空间域滤波和频域滤波是有对应关系的。 4、  通过以上的空间域滤波或者频率域滤波，不仅可以实现图像增强，还可以实现图像的复原和重建，下面是图像复原和重建的学习情况。

空间域：简单的包含像素平面，空间与技术直接在图像像素上操作；

频率域：操作在图像的傅里叶变换上执行；

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傅里叶变换机器反变换

复数：

共轭复数：

极坐标表示：

欧拉公式：

极坐标下的复数：

傅里叶级数

l      为什么要在频率域研究图像增强

ü     可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通

ü     滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质

ü     可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导

ü一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在

空间域进行

二维离散傅里叶变换的性质

1.     平移和旋转性质

ü 公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置

ü公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的空域中心移动到新的位置

ü公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值

2.     分配律

3.     尺度变换（缩放）

4.     旋转性

5.     周期性和共轭对称性

6.     平均值

7.     可分性

8.     卷积

9.     相关性

l      卷积和相关性理论总结

ü     卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带

ü     相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域

1.   f(x,y)是原始图像
2.   h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）
3.   如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f中相应点的位置上达到最大

快速傅里叶变换